1. В равнобедренном треугольнике основание равно 12 см, а высота, проведенная к основанию, равна 8 см. Найдите медиану, проведенную к боковой стороне. (Надо не через косинус) 2. Докажите, что четырёхугольник PSQT-является квадратом вычислить его площадь P(3;0), S(-1;3), Q(-4;-1), T(0;-4)

Если в равнобедренной трапеции провести высоты ВН и СК, то получим НВСК - прямоугольник (ВС║КН, так как основания трапеции параллельны, ВН║СК как перпендикуляры к одной прямой), тогда

ВС = КН и ВН = СК.

ΔАВН = ΔDCK по гипотенузе и катету (АВ = CD, так как трапеция равнобедренная, ВН = СК), тогда

АН = DK = (AD - KH)/2 = (AD - BC)/2.

Площадь трапеции:

Sabcd = (AD + BC)/2 · BH

Воспользуемся этими выводами для решения задач:

а) AH = DK = (17 - 11)/2 = 3 см

ΔАВН прямоугольный с гипотенузой, равной 5 см и катетом 3 см, значит он египетский и

ВН = 4 см.

Sabcd = (17 + 11)/2 · 4 = 28/2 · 4 = 14 · 4 = 56 см²

б) AH = DK = (8 - 2)/2 = 3 см

ΔABH: ∠AHB = 90°, ∠BAH = 60°, ⇒ ∠ABH = 30°.

            AB = 2AH = 6 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°,

            по теореме Пифагора:

            BH = √(AB² - AH²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3 см

Sabcd = (8 + 2)/2 · 3√3 = 15√3 см²

У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
Его можно рассматривать, как 2 соединённых треугольника вершинами в разные стороны.
Тогда линия, соединяющая 2 соседние стороны ромба - это средняя линия треугольника и она параллельна основанию, то есть диагонали.
Аналогично, рассматривая второй треугольник, у него тоже средняя линия параллельна основанию и паралленльна первой линии.
Теперь можно перейти к другой  диагонали и получит аналогичный результат  - линии, соединяющие середины ромба, параллельны между собой и диагоналям.
То есть, между ними углы по 90 градусов - это и есть доказательство того, что если последовательно соединить середины сторон ромба, то получится прямоугольник.