Содержание урока Задание №5

Одна из сторон параллелограмма равна 4, другая равна 14, а косинус одного из углов равен√15/4. Найдите площадь параллелограмма.

24

14

48

28

Назад

Проверить

​

а) Меньшая высота параллелограмма находится из равнобедренного прямоугольного треугольника АВН (острые углы = 45°). По Пифагору 2*ВН²=АВ². Тогда 2*ВН²=а²*2, отсюда ВН=а. Это и высота параллелепипеда.

б) Угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания - это двугранный угол, измеряемый градусной мерой линейного угла D1KD, образованный перпендикулярами D1K и DK к ребру АВ. Cинус этого угла равен отношению DD1/KD1. В прямоугольном треугольнике АКD:  

<КАD =<KDA = 45°. Значит АК=КD= а√2.

Тогда КD1=√(КD²+DD1²)=√(2а²+а²)=а√3.  

Sinα = a/а√3 = √3/3.

ответ: искомый угол равен arcsin(√3/3).

в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту, то есть Sб=2*(а√3+2а)*а =а²(2+√2).

г) Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей баковой поверхности и удвоенной площади основания. То есть

Sполн=а²(2+√2)+2*AD*BH=а²(2+√2)+4а² = а²(6+√2).

Т.к треугольник АВС- равнобедренный, то углы при основании равны(угол А= углу= С). АD биссектриса=> делит угол А пополам. Тогда угол С в 2 раза больше больше угла DAC. Пусть угол DAC=x; тогда угол С=2x. 
Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольник равна основанию. Тогда треугольник ADC- равнобедренный. Углы при основании равны(угол С = углу ADC= 2x) . Отсюда выражаем сумму углов, равную 180.
2x+2x+x=180
5x=180
x=36
тогда угол DAC=36, ADC=C= 72. 
DH- расстояние, т.е не что иное, как высота. угол DHA=90, DAH=36
sin(DAH)= DH/AD; AD=AC=6/sin36.
DC∈BC. А т.к треугольник АDC- равнобедренный, то (расстояние)высота  АО будет являться и биссектрисой и медианной. 
=> угол ОАС= 18, cosOAC=AO/AC. 
cos18=AO/(6/sin36)
AO= (6cos18)/sin36