В треугольнике ABC провели высоты AD и CE. Найдите угол ABC, если известно, что радиус окружности вписанной в треугольник EBD вдвое больше радиуса окружности вписанной в треугольник ABC.

1. При перетині паралельних прямих січною утворюються 4 однакові пари кутів: 37° і 180 - 37 = 143°. Тобто, серед семи інших кутів три по 37° і чотири по 143°.

2. Сума внутрішніх одностороніх кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною, складає 180°. Отже:

6х + 3х = 180

9х = 180

х = 20

3·20 = 60°

6·20 = 120°

Кути дорівнюють 60° і 120°.

3. Сума кутів, утворених при перетині двох прямих складає 360°.

Тому четвертий кут дорівнює: 360 - 209 = 151°.

Отже, чотири з восьми кутів дорівнюють 151° кожен, ще чотири мають по 180 - 151 = 29° кожен.

По условию трапеция - равнобедренная. Значит, <A=<E, <B=<C.
Построим высоты трапеции ВН и СН1. Т.к. трапеция равнобедренная, то АН=ЕН1. Выразим эти отрезки:
НН1=ВС=а,
АН=ЕН1=(АЕ-НН1):2=(2а-а):2=а/2
Рассмотрим прямоугольный треугольник АНВ. Здесь катет АН равен половине гипотенузы АВ (АН=а/2, АВ=а), следовательно, он лежит против угла в 30 градусов:
<ABH=30°, тогда<ABC=90+30=120°. В трапеции <B=<C=120°.
В этом же прямоугольном треугольнике АНВ можно найти угол А, зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов:
<A=90-<ABH=90-30=60°, <A=<E=60.