В правильной треугольной пирамиде боковое ребро создаёт с плоскостью основания угол 60 ° Найдите высоту пирамиды, если радиус описанной вокруг него сферы 4√3.

Начнем с самого простого:
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности (свойство). Но можно и так: диагонали правильного шестиугольника разбивают описанную окружность на 6 равных равносторонних треугольника (см. рисунок). Поэтому сторона этого шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Rш=10см.
Диагональ правильного четырехугольника (квадрата) равна диаметру описанной около него окружности (свойство). D=20см.
Тогда его сторона равна Rк= 10√2см.
Сторона правильного треугольника равна  R*√3 (формула). Или в нашем случае 10√3.
Но можно и без формулы: по теореме косинусов.
a² = 2*R²-2R²*Cos120° или a²=200*(1+1/2) = 100*3. a=√300 = 10√3см.
ответ: сторона треугольника равна 10√3см, четырехугольника10√2см и шестиугольника 10см.

Даны вершины треугольника АВС: А(-2; 0), В(-3; 2), С(1; -1).

1) Уравнение прямых AB, ВС и АС.

Вектор АВ = (-3)-(-2)=-1;  2-0=2) = (-1; 2).

Вектор ВС = (1-(-3)=4;  -1-2=-3) = (4; -3).

Вектор АС = (1-(-2)=3;  -1-0=-1) = (3; -1).

Каноническое уравнение прямой АВ:  (x + 2)/(-1) = y/2.

Каноническое уравнение прямой ВС:  (x + 3)/4 = (y - 2)/(-3).

Каноническое уравнение прямой АС:  (x - 1)/3 = (y + 1)/(-1).

2) Высота АК.

Найдем угловой коэффициент k1 прямой ВС.  Точки В(-3; 2), С(1; -1).

k1(ВС) = Δу/Δ х = (-1-2)/(1+3) = -3/4.

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.  

Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:  (-3/4)*k = -1, откуда k = -1/(-3/4) = 4/3.  

Так как перпендикуляр проходит через точку А(-2; 0) и имеет k = (4/3), то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).  

Подставляя x0 = -2, k = (4/3), y0 = 0 получим уравнение высоты АК:  

y - 0 = (4/3)*(x + 2)  

или   y = (4/3)x + (8/3) или 4x  - 3у + 8 = 0.

Найдем точку пересечения с прямой ВС:  

Уравнение ВС:  (x + 3)/4 = (y - 2)/(-3) или у = (-3/4)х - (1/4).

Имеем систему из двух уравнений по прямым АК и ВС:

 y = (4/3)x + (8/3)

у = (-3/4)х - (1/4)

Приравняв правые части, имеем (25/12)х = -35/12.

Отсюда х  = -35/25 = -7/5 = -1,4.

у = (4/3)*(-7/5) + (8/3) = (4/5) = 0,8.

Точка К(-1,4; 0,8).

3) Модули сторон:  

АВ = √((-1)² + 2²) = √5.

АС = √(3² + (-1)²) = √10.

cos BAC = ((-1)*3 + 2(-1))/(√5√10) = -5/√50 = -1/√2 = -√2/2.

Угол ВАС равен 135 градусов.