ДАНО ТРИ ВЕРШИНЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКА ABCD: A(1;4),B(-5;4),C(-5;1).
НАЙТИ ЧЕТВЁРТУЮ ТОЧКУ D и ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА

Раз восьмиугольник правильный, значит все его стороны равны и все углы тоже. Угол такого восьмиугольника можно найти по формуле (где n - количество углов):

градусов, значит, каждый угол восьмиугольника равен 135 градусов. Рассмотрим четырёхугольник АВСН, в нём два угла по 135 градусов и два по х градусов (АВ параллельна СН так как точки А и В равноудалены от точек С и Н, это получилась равнобедренная трапеция). В выпуклом четырёхугольнике сумма углов равна 360 градусов, таким образом 2х=90 градусов, следовательно, х=45 градусов. Отсюда мы можем найти углы DСН и GНС, которые равны по 135-х=90 градусов. Аналогично углы СDG и DGН равны по 90 градусов, значит, CDGH - прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна стороне восьмиугольника, теперь найдём вторую.
Для этого опустим в трапеции АВСН высоты и . .  , потому что получился прямоугольник, а

Таким образом стороны прямоугольника равны АВ и

Правильный треугольник - треугольник, у которого все стороны равны (равны а) и все углы по 60 градусов. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе треугольника, но раз все стороны и углы равны, значит биссектриса является и медианой, и высотой. К тому же точками касания стороны делятся на 2. И отрезки сторон равны .
Рассмотрим один маленький прямоугольный треугольник, образованный вершиной треугольника, центром окружности и высотой. Тогда у нас

, откуда . Ну а альфа у нас половина угла треугольника, то есть 30 градусов.



ответ: