от Самостоятельная работа по теме « Простейшие задачи в координатах»
Вариант 1
1. Найти длину отрезка AB и координаты точки M, если A(-4;-2) B( 6; 4)
и M – середина отрезка АВ.
2. Известно, что точка P середина отрезка АВ. Найти координаты точки
B, если А (3; 5) P(-1; -1)
3. Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный. Найдите его
периметр и площадь, если A(-4;-1) B(-1; 5) C (2 ;-1)
4. Найдите координаты вершины Д параллелограмма АВСД, если
A (-2; -2) B(-2; 3) C(1; 5)
5. Докажите, что АВСД прямоугольник. Найдите его периметр и
площадь, если A(-4; 1) В(1; б) C (4 ; 3) ДО -1; -2)

Периметр ромба равен 4а.

Решение.

Меньшая диагональ ромба равна а. Это как раз диагональ проведенная из вершины тупого угла и образует с высотой угол 30 град. Высота - это перпендикуляр к противоположно стороне ромба (т.е.) образует угол 90 град. Т.к. сумма углов треугольника равна 180, то угол между короткой диагональю и стороной ромба равен 60 град. Получается, что короткая диагональ делит ромб на 2 равносторонних треугольника и диагональ равна стороне ромба, т.е. а. Таким образом периметр равен 4а.

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Данный треугольник Пифагоров и гипотенуза равна 5см.

Точка М - центр описанной окружности.

Точка О - центр вписанной окружности.

Тогда R=2,5см, то есть ВМ=2,5см.

Радиус вписанной окружности равен по формуле:

r=(AC+BC-АВ)/2 = 2/2=1см.

Итак, СН=r=1см => HB=3-1=2см.

PB=HB=2см (касательные из одной точки).

Тогда МР=2,5-2=0,5см. В прямоугольном треугольнике ОМР по Пифагору:

ОМ=√(1²+0,5²)= √1,25 ≈ 1,118 ≈ 1,12см .

ответ: расстояние между центрами окружностей равно

√1,25 ≈ 1,12 см.

Или так: по теореме Эйлера в треугольнике расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей находится по формуле:

d² = R² - 2·R·r.

В нашем случае R = 2,5см, а r = 1cм.

тогда d = √(2,5² -2·2,5) = √(2,5·0,5) = √1,25 ≈ 1,12 см.