Параллелограмм мен ромбының аудандары. 1-сабақ Тіктөртбұрыштың AB қабырғасының бойынан оны 3:4 қатынасындай және CD қабырғасының бойынан оны 5:3 қатынасындай етіп бөлетін K және M нүктелері алынған. AKMD және KBCM төртбұрыштарының аудандарының қатынасын тап. Жауабы:

Пусть A - начало координат 
Ось X - AB
Ось Y - AD
Ось Z - AA1

Уравнение плоскости ABC
z=0

Координаты точек 
K(0;a/2;0)
L(a/3;a;0)
D1(0;a;a)

Направляющий вектор KL (a/3;a/2;0)
длина KL = a√(1/9+1/4)=a√13/6
Направляющий вектор D1K(0; -a/2; -a)

расстояние от D1 до KL - Высота сечения =
||  i     j     k  ||
|| 0  -a/2  -a || /(√13/6) = a √(19/13)
||a/3  a/2  0 || 

Площадь сечения половина основания на высоту
S=a^2 *√19/12

Уравнение плоскости KLD1 
mx+ny+pz+q=0

подставляем координаты точек 
an/2+q=0
am/3+an+q=0
an+ap+q=0

Пусть  n=2  тогда q = -a m= -3 p= -1

-3x+2y-z-a=0

косинус угла между KLD1 и ABC

cos a = 1/1/√(9+4+1)=1/√14

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
Точки В1 и D сечения - это диагональ параллелепипеда. Следовательно, плоскость сечения определяется двумя пересекающимися прямыми: диагональю и боковым ребром параллелепипеда, то есть это диагональное сечение.
Итак, искомое сечение - прямоугольник ВВ1D1D (так как параллелепипед прямой).
S=BB1*ВD. Причем BB1=AA1. (прямой параллелепипед).
Из прямоугольного треугольника АВD по Пифагору:
BD=√ (AВ²+AD²) или BD=√ (15²+8²)=17.
Тогда Sbb1d1d=17*21=357.