Відомо, що АВС=КМР. АВ=3см, ВС=4см, AC=5см. Чому дорівнює МР?

Трапеция ABCD; AD II BC; AC = 3; BD = 5; 
Пусть CE II BD; E лежит на продолжении AD;
Площадь треугольника ACE равна площади трапеции,
так как DE = BC; => AE = AD + BC; и у них общая высота, которая равна расстоянию от точки C до прямой AD.
Еще раз - у треугольника и трапеции одинаковые средние линии AE/2 = (AD + BC)/2 и общая высота. Площадь равна произведению средней линии на высоту и у треугольника и у трапеции.
Далее, если M - середина BC, N - середина AD, K - середина AE; 
то MC = NK; потому что NK = AE/2 - AD/2 = BC/2; 
=> MCKN - параллелограмм, и MN = CK;
=> в треугольнике ACE (площадь которого надо найти по условию задачи) медиана CK = 2; а стороны AC = 3; CE = 5;
Если теперь продлить CK за точку K на "свою" длину 2 - пусть это точка P;
то ACEP - тоже параллелограмм, потому что его диагонали AE и CP делятся пополам в точке пересечения K. 
Площадь треугольника ACE (и следовательно, площадь трапеции ABCD) равна половине площади этого параллелограмма.
Также и треугольник ACP имеет такую же площадь (любая из диагоналей делит параллелограмм на два равных треугольника).
У треугольника ACP стороны AC = 3; CP = 4; AP = 5; то есть это прямоугольный треугольник, и его площадь равна 3*4/2 = 6;

Объяснение:

Дано: MNKL - параллелограмм.

AL=NC; BM=KD.

Доказать: ABCD - параллелограмм.

Доказательство:

MNKL - параллелограмм. ⇒ MN║KL  и ML║NK.

1) Рассмотрим ΔMBN и ΔLKD.

KD=MB (по условию)

MN=LK (свойство параллелограмма)

∠1=∠2 (соответственные при NM║LK и секущей BL.

∠3=∠2 (накрест лежащие при LB║ND и секущей LK.

⇒∠1=∠3.

ΔMBN и ΔLKD (по двум сторонам и углу между ними, 1 признак)

⇒ LD=BN; ∠5=∠4 (как соответственные элементы)

2) AD=AL+LD

  BC=BN+NC

⇒AD=BC

3) ∠5=∠4 (п.1)

  ∠5=∠6 (соответственные при BL║DN и секущей ВС)

⇒∠4=∠6 - накрест лежащие при ВС и AD и секущей ND;

⇒ ВС ║ AD.

4) AD=BC (п.2)

   ВС ║ AD (п.3)

Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

⇒ABCD - параллелограмм