От с A
В
2.97. Ортогональная проекция
равнобедренного треугольника есть
равносторонний треугольник со сто-
роной 6 см, одна сторона которого
является основанием данного равно-
бедренного треугольника. Найдите
площадь равнобедренного треуголь-
ника, если его плоскость образует
с плоскостью проектирования угол,
равный: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60° (рис.
2.59).
D
Рис. 2.59​

Для решения задачи о площади равнобедренного треугольника с ортогональной проекцией сначала найдем высоту в зависимости от угла между плоскостью проектирования и плоскостью треугольника.

Пусть θ - угол между плоскостью проектирования и плоскостью треугольника.

1) Когда θ = 30°:
В этом случае треугольник является равносторонним, так как одна из его сторон, равная основанию данного равнобедренного треугольника, равна 6 см. Поэтому площадь равнобедренного треугольника равна площади равностороннего треугольника со стороной 6 см.
Формула для площади равностороннего треугольника: S = (a^2 * sqrt(3)) / 4, где a - длина стороны треугольника.
Подставляя значения, получаем:
S = (6^2 * sqrt(3)) / 4 = (36 * sqrt(3)) / 4 = 9 * sqrt(3) см^2.

2) Когда θ = 45°:
В этом случае стороны равнобедренного треугольника образуют прямой угол с плоскостью проектирования. Чтобы найти площадь, разделим треугольник на два прямоугольных треугольника. Сторона равностороннего треугольника будет равна 6 см, поэтому сторонами прямоугольных треугольников будут 6 см и 6 / sqrt(2) см.
Формула для площади прямоугольного треугольника: S = (a * b) / 2, где a и b - длины катетов треугольника.
Подставляя значения, получаем:
S = (6 * (6 / sqrt(2))) / 2 = (36 / sqrt(2)) / 2 = 18 / sqrt(2) = 9 * sqrt(2) см^2.

3) Когда θ = 60°:
Треугольник формируется из двух правильных треугольников, основание каждого из которых равно половине стороны равностороннего треугольника (6 см). Поэтому длина основания треугольника будет равна 6 см, а его высота будет равна h, так как это основание выступает как высота от вершины к основанию равнобедренного треугольника.
Формула для площади равностороннего треугольника: S = (a * h) / 2, где a - длина стороны треугольника, h - высота треугольника.
Подставляя значения, получаем:
S = (6 * h) / 2 = 3h см^2.

Найдем высоту h:
Так как равнобедренный треугольник полностью проектируется на плоскость проектирования, то его высота будет поделена на две части. Одна из этих частей будет являться ближайшей точкой к точке проектирования, а вторая - самой дальней. Их отношение можно найти с помощью тригонометрической функции cos(θ).
cos(θ) = adjacent / hypotenuse, где adjacent - прележащая сторона, hypotenuse - гипотенуза.
В данном случае adjacent = h / 2 (ближайшая часть высоты), hypotenuse = h (полная высота).
Подставляя значения, получаем:
cos(60°) = (h / 2) / h
1/2 = 1 / 2h
h = 2.

Теперь, подставляя найденную высоту в формулу для нахождения площади равностороннего треугольника с заданным значением угла получаем:
S = 3 * 2 = 6 см^2.

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника при различных углах между плоскостью проектирования и плоскостью треугольника равна:
1) При θ = 30°: 9 * sqrt(3) см^2.
2) При θ = 45°: 9 * sqrt(2) см^2.
3) При θ = 60°: 6 см^2.