Точка М не належить площині α. Які з наведених тверджень є правильними? І. Через точку М можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини α. ІІ. Через точку М можна провести лише одну площину, паралельно площині α. ІІІ. Через точку М можна провести лише одну площину, що перетинає площину α під кутом 45°. a.
І, ІІ, ІІІ

b.
лише ІІ і ІІІ

c.
лише ІІ

d.
лише І

e.
лише І і ІІІ

1) (рис 1) Формулы деления отрезка в данном отношении ∧ (∧-лямда ∧=АМ/МВ=1/2)
х(м)=(х(а)+∧х(в))/(∧+1)     х(м)=(-2+1/2*4)/1+1/2=(-2+2)/(3/2)=0
у(м)=(у(а)+∧у(в))/(∧+1)     у(м)=(5+1/2*(-3))/1+1/2=(5-3/2)/(3/2)=7/2*2/3=7/3
М(0;7/3)
2) Если точка М принадлежит прямой АВ, то возможны 2 варианта: первый рассмотрен под цифрой 1), а второй т.А будет серединой отрезка МВ, тогда х(м) и у(м) можно  найти из формул середины отрезка
х(а)=х(м)+х(в)/2    -2=(х(м)+4)/2  х(м)=(-2*2)-4=-8
у(а)=у(м)+у(в)/2    5=(у(м)-3)/2    у(м)=5*2+3=13
М(-8;13)
3)(х(м)-х(а))²+(у(м)-у(а))²=100 и (х(м)-х(в))²+(у(м)-у(в))²=100
для удобства заменим х(м) на х, а у(м) на у, получим уравнения
(х+2)²+(у-5)²=100    х²+4х+4+у²-10у+25=100
(х-4)²+(у+3)²=100    х²-8х+14+у²+6у+9=100
вычтем уравнения  12х-16у+16=0  3х-4у=-4    у=3/4х+1
подставим в первое уравнение  (х+2)²+(3/4х-4)²=100
х²+4х+4+9/16х²-6х+16=100
25/16х²-2х-80=0
Д1=1+25/16*80=1+25*5=126=3√14
х1=(1+3√14)/(25/16)=16(1+3√14)/25 и х2=16(1-3√14)/25
у1=3/4*16*(1+3√14)/25+1=12(1+3√14)/25+1=(37+36√14)/25
у2=3/4*16*(1-3√14)/25+1=(37-36√14)/25

(16(1+3√14)/25;(37+36√14)/25)    (16(1-3√14)/25;(37-36√14)/25)

4) (х-х(а))²+(у-у(а))²+(х-х(в))²+(у-у(в))²=50
(х+2)²+(у-5)²+(х-4)²+(у+3)²=50
х²+4х+4+у²-10у+25+х²-8х+16+у²+6у+9=50
2х²-4х+2у²-4у+54=50
х²-2х+1+у²-2у+1+25=25
(х-1)²+(у-1)²=0
точка М(1;1)

Если прямая (DC),  параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость  проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC).
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. 
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²