С точки A до плоскости β проведены перпендикуляр AD и наклонные AE и AF. Найдите длину проекций наклонных AE и AF на плоскость β, если разница этих проекций равна 12 см, AE = 17 см, AF = 25 см.

Значит так. Чертим прямоугольный треугольник. 
Решение: Рассмотрим треугольник ACH: Так как CH - высота,то этот треугольник прямоугольный. Следовательно CH - катет и мы находим его по теореме Пифагора: CH = √6^²-4^² = √36-16 = √20 = 2√5
Я предлагаю рассмотреть треугольник ABC и найти x через CB(не знаю можно ли так,как я решил,но я запишу)
AB=4+x
CB=√AB²-AC² = √(4-x)²-6² = √x²-10x-20 
Разбираем квадратичное уравнение:
x²-10x-20=0
D= 100+4*20=180 √D= 6√5
 x_{12} = 5+-3√5
x2 - не подходит,так как получается отрицательным,поэтому BH = 5+3√5.
ответ: 5+3√5

Как ни удивительно, но в данном случае формула Герона для площади - это самый простой вычисления синуса большего угла. К сожалению, этот треугольник нельзя разрезать на Пифагоровы.

 

Первое, что надо понять - все размеры можно смело сократить на 5. В этом случае получается треугольник со сторонами 8, 15, 21, подобный исходному, то есть у него - такие же точно углы. Нужно найти угол противолежащий стороне 21(против большей стороны лежит больший угол). Обозначим его Ф.

Надем площадь. 

Полупериметр (8 + 15+ 21)/2 = 22; 22 - 8 = 14; 22 - 15 = 7; 22 - 21 = 1;

S^2 = 22*14*7*1 = 11*14^2; S = 14*корень(11);

Поскольку S = 8*15*sin(Ф)/2, то sin(Ф) = (7/30)*корень(11);

 

С другой стороны, для cos(Ф) можно записать теорему косинусов

21^2 = 8^2 + 15^2 - 2*8*15*cos(Ф); 

Откуда cos(Ф) = (21^2 - 8^2 - 15^2)/240 = 19/30;

 

Поскольку оба результата на первый взгляд получены разными можно проверить, что

(sin(Ф))^2 +  (cos(Ф))^2 = 1; сделайте это сами :)