Рассмотрим ∆CBD и ∆ABD.
Угол CBD=180°–угол ABD=180°–90°=90° (смежные углы), следовательно ∆CBD – прямоугольный с прямым углом CBD, ∆ABD – прямоугольный с прямым углом ABD
CD=AD по условию;
BD – общая сторона;
Следовательно ∆CBD=∆ABD как прямоугольные треугольники с равными гипотенузой и катетом.
Тогда угол ADB=угол CDB=55° как соответственные углы равных треугольников.
Так как углы ADF, ADB u CBD – смежные, то угол ADF=180°–угол ADB–угол CDB=180°–55°–55°=70°.
Рассмотрим ∆FAD.
AF=AD по условию, следовательно ∆FAD – равнобедренный с основанием FD.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит угол AFD=угол ADF=70°.
ответ: 70°
Сделаем рисунок к задаче.
Так как правильный треугольник проецируется на плоскость, то проекции его равных сторон равны между собой.
На рисунке это
НА=НС
По условию задачи ⊿ АНС - прямоугольный. Следовательно, он равнобедренный, а его гипотенуза АС совпадает со стороной АС Δ АВС.
Пусть сторона правильного треугольника равна а.
Тогда гипотенуза ⊿ АНС равна а.
Найдем катеты НА и НС по теореме Пифагора.
Пусть катеты равны х
а²=2х²
х²=а²/2
х=а:√2=а√2:√2*√2=а√2):2
Искомый угол - это угол между высотой НМ ⊿ АНС и высотой ВМ Δ АВС.
Так как НМ высота равнобедренного прямоугольного треугольника, она является и его медианой и равна половине гипотенузы АС.
НМ=АМ=АС:2
НМ=а:2
ВМ- высота правильного треугольника АВС со стороной а и равна а√3):2
ВН² =(а√3):2)²-(а/2)²
ВН² = 3а²:4²- а²:4 =2а²:4
ВН=а√2):2
sin ВМН=а√2):2}:(а√3):2)
sin ВМН= √2 :√3=√2/3=0,8165
54° <ВМН <55°
