Обозначим треугольник АВС. АС основание. Угол С=90. АВ=15, АС=12. Проведём медианы. Они пересекаются в точке О. Из точки О на основание АС опустим перпендикуляр ОК , это и будет искомое расстояние. Из вершины В к стороне АС проведена медиана ВМ. По теореме Пифагора ВС=корень из(АВ квадрат-АС квадрат)=корень из(225-144)=9. Треугольники МВС и МОК подобны как прямоугольные с общим острым угломВМС. Тогда МК/КО=МС/ВС=6/9. Отсюда МК=2/3*КО. Обозначим искомое расстояние КО=Х. Тогда МК=2/3*Х. В треугольнике МОК квадрат гипотенузы МО равен МОквадрат=Хквадрат+(2/3*Х)квадрат=(13*Хквадрат)/9. В треугольнике МВС ВМ=корень из(МС квадрат+ВС квадрат) =корень из(36+81)= корень из117. Медианы делятся в точке пересечения в отношении 1/2. Отсюда МО/ВМ=1/3. Тогда МО квадрат=(ВМ/3)квадрат=117/9. Приравняем полученные выражения МО квадрат, то есть 13*Хквадрат/9=117/9. Отсюда Х=3. Или искомое расстояние ОК=3.
Сделаем построение по условию.
Пусть боковая сторона АС=а
На основании данных (Площадь треугольника АВС равна 9√2, угол А = 45 градусов. )
Площадь по формуле S=1/2*a^2*sinA
Получаем квадрат боковой стороны АС^2=а^2= 2S/sinA
Пусть прямая, проходящая через точку О и середину АС пересекает АС в точке К АК=КС
, тогда ОК – серединный перпендикуляр , проведенный к хорде АС
Рассмотрим треугольник АМК . Углы АКМ=90 КАМ=45 АМК=45(180-90-45)
Т.е. треугольник АМК . прямоугольный, равнобедренный
Тогда АК=МК = 1/2АС МК –высота в треугольнике АМС
Площадь треугольника S(АМС)=1/2*МК*АС=1/2*(1/2АС)*АС=1/4*АС^2=1/4*a^2=1/4*2S/sinA =
=1/4*2*9√2/sin45=1/4*2*9√2/(√2/2) = 9
Тогда площадь треугольника S(ВМС)=S(ABC)-S(AMC)= 9√2-9=9(1-√2)
