В треугольнике АВС медиана ВD составляет со стороной ВС угол DВС = 60º.
Точка пересечения медиан удалена от прямой ВС на корень из 3 см
а)найдите В
б)Найдите АВ,если угол АВD=30º
-------------
Решение.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины угла.
Следовательно, ВD=ВМ:2·3
Кратчайшее расстояние от точки до прямой - перпендикуляр. МН ⊥ВС
ВМ найдем из треугольника ВМН.
ВМ=МН:sin (60º)=(√3:√3)·2=2см
ВD=2:2·3=3cм
Так как по условию ∠АВD=30º,
то ∠АВС=30º+60º=90º.
Следовательно, треугольник АВС прямоугольный.
АС в нем - гипотенуза.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине. И, наоборот, половина гипотенузы равна медиане.
АD=ВD=3 cм
Треугольник АВD равнобедренный.
Проведем в нем высоту DК, которая является и медианой, и биссектрисой по свойству высоты равнобедренного треугольника.
Поэтому ∠КDА=60º
АК:АD=sin(60º)
АК=АD·sin(60º)
АК=3·√3):2=1,5√3
АВ=2 АК=3√3
В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его биссектрисы. Треугольники AKB и ALB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника, а углы LBA и KAB равны как половины углов при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны AK и LB - биссектрисы треугольника ABC - равны. Теорема доказана.
Теорема d3. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его высоты. Тогда углы ABL и KAB равны, так как углы ALB и AKB прямые, а углы LAB и ABK равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольники ALB и AKB равны по второму признаку равенства треугольников: у них общая сторона AB, углы KAB и LBA равны по вышесказанному, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Если треугольники равны, их стороны AK и BL тоже равны. Что и требовалось доказать.
