Площадь трапеции равна 84 см2, ее высота 8см . Найдите меньшее основание трапеции, если разность оснований равна 6 см. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 18 см и 34 см . а острый угол равен 45◦.

В трапеции АВСД основания ВС и АД равны соответственно 7 см и 11 см, боковая сторона АВ равна 8 см, а угол В равен 150◦ . Найдите площадь трапеции.

В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 12см и составляет с меньшей диагональю угол 45◦ . Найдите площадь трапеции, если ее тупой угол равен 135◦ .

​

Добрый день!
Давайте решим поставленные задачи по очереди.

1. Площадь трапеции равна 84 см², ее высота равна 8 см. Найдите меньшее основание трапеции, если разность оснований равна 6 см.

Для начала вспомним формулу для площади трапеции:
S = (a + b) * h / 2,
где S - площадь, a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

В данной задаче у нас известны S = 84 см² и h = 8 см. Обозначим меньшее основание трапеции как a, а большее основание как b. Тогда у нас есть следующая система уравнений:
a - b = 6,
(a + b) * 8 / 2 = 84.

Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения выразим b через a: b = a - 6.

Подставим это выражение для b во второе уравнение:
(a + a - 6) * 8 / 2 = 84,
(2a - 6) * 8 / 2 = 84,
(2a - 6) * 4 = 84,
8a - 24 = 84,
8a = 108,
a = 13.5.

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 13.5 см.

2. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 18 см и 34 см, а острый угол равен 45°.

Обозначим боковую сторону равнобедренной трапеции как c. Так как трапеция равнобедренная, то мы знаем, что основания равны, то есть a = 18 см и b = 34 см. Угол В между основанием и боковой стороной равен 45°.

Разобьем трапецию на два прямоугольника, проведя высоту из вершин оснований (т.е. часть боковой стороны будет выступать за основание).

Получим два прямоугольника:
1) Прямоугольник со сторонами a, c и углом 45° между ними.
2) Прямоугольник со сторонами b, c и углом 45° между ними.

Площадь прямоугольника можно найти по формуле:
S = a * c * sin(угол).

В нашем случае площадь равнобедренной трапеции будет равна сумме площадей двух прямоугольников.

S_трапеции = S_прямоугольника1 + S_прямоугольника2.

S_прямоугольника1 = a * c * sin(45°),
S_прямоугольника2 = b * c * sin(45°).

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции будет равна:
S_трапеции = a * c * sin(45°) + b * c * sin(45°).

Подставим значения a = 18 см, b = 34 см и угол = 45° в формулу:

S_трапеции = 18 * c * sin(45°) + 34 * c * sin(45°).

Так как sin(45°) = √2 / 2, то уравнение примет вид:

S_трапеции = (18 + 34) * c * (√2 / 2) = 52 * c * (√2 / 2).

S_трапеции = 26 * c * √2.

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 26 * c * √2.

3. В трапеции АВСД основания ВС и АД равны соответственно 7 см и 11 см, боковая сторона АВ равна 8 см, а угол B равен 150°. Найдите площадь трапеции.

Обратимся сначала к основным свойствам трапеции:

- Боковая сторона трапеции параллельна и равна полусумме оснований.
- Вершина угла B лежит на прямой, содержащей биссектрису угла A.

Таким образом, мы можем построить прямоугольный треугольник BXP, где X - точка пересечения биссектрисы угла A с основанием ВС, а P - точка пересечения боковой стороны АВ и высоты AD.

Из свойств прямоугольного треугольника можем найти его высоту PX и сторону XP.

Так как сторона ВС основания трапеции равна 7 см, а боковая сторона АВ равна 8 см, то полусумма оснований равна (7 + 11) / 2 = 9 см.

Так как треугольник BXP прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:
XP² + PX² = 8²,
XP² + (BD - 7)² = 8²,
XP² + (11 - 7)² = 8²,
XP² + 4² = 8²,
XP² + 16 = 64,
XP² = 48,
XP = √48 = 4√3.

Теперь можем обратиться к площади трапеции.

Площадь трапеции можно найти по формуле:
S_трапеции = (a + b) * h / 2,
где S_трапеции - площадь трапеции, a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

В данной задаче у нас известны a = 7 см, b = 11 см и h = PX = 4√3 см.

Подставим эти значения в формулу:

S_трапеции = (7 + 11) * 4√3 / 2 = 18 * 2√3 = 36√3 см².

Таким образом, площадь трапеции равна 36√3 см².

4. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 12 см и составляет с меньшей диагональю угол 45°. Найдите площадь трапеции, если ее тупой угол равен 135°.

Обозначим меньшее основание прямоугольной трапеции как a и большее основание как b. Также обозначим угол между меньшей диагональю и меньшим основанием как α и угол между меньшей диагональю и боковой стороной как β.

В данной задаче у нас известны a = 12 см, угол α = 45° и угол тупой угол равен 135°.

Так как трапеция прямоугольная, то угол β = 90° - α = 90° - 45° = 45°.

Разобьем трапецию на два прямоугольника, проведя диагональ AC (между основаниями) и прямую BD (через точку B, перпендикулярную основаниям). Тогда получим два прямоугольника: ABCD и BBEC.

Заметим, что прямоугольник ABCD можно разделить на прямоугольник ABEF и прямоугольный треугольник BEC.

Так как у нас прямоугольная трапеция, то основания ABCD будут перпендикулярны диагонали AC. Тогда из свойств перпендикуляров можно сделать вывод, что угол DBE = α.

Также обратимся к прямоугольному треугольнику BEC. Угол B равен α = 45°, угол C равен β = 45°. Тогда угол EBC будет равен 180° - α - β = 180° - 45° - 45° = 90°.

Теперь обратимся к прямоугольникам ABCD и BBEC.

Площадь прямоугольника ABCD можно найти как произведение его сторон:
S_ABCD = a * AC.

Площадь прямоугольника ABEF можно найти также как произведение его сторон:
S_ABEF = a * BF = a * BE * sin(EBF).

Площадь прямоугольного треугольника BEC можно найти через один из его катетов и гипотенузу:
S_BEC = BE * BC / 2.

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции будет равна сумме площадей прямоугольников ABCD и BBEC, и площади прямоугольного треугольника BEC:
S_трапеции = S_ABCD + S_ABEF + S_BEC.

Подставим известные значения:

1. Площадь прямоугольника ABCD:
S_ABCD = a * AC = a * BD / sin(DBE).

Так как у нас прямоугольная трапеция, то BD равна диагонали трапеции: BD = √(a² + b²).

Также нам известен угол DBE = α = 45°.

S_ABCD = a * AC = a * √(a² + b²) / sin(45°) = a * √(a² + b²) / (√2 / 2) = 2√2 * a * √(a² + b²).

2. Площадь прямоугольника ABEF:
S_ABEF = a * BE * sin(EBF).

Так как угол EBF = β = 45°, то sin(EBF) = sin(45°) = √2 / 2.

S_ABEF = a * BE * sin(EBF) = a * BE * (√2 / 2) = a * BE * √2 / 2.

3. Площадь прямоугольного треугольника BEC:
S_BEC = BE * BC / 2.

Так как угол EBC = 90°, а B и C - вершины прямого угла, то BC будет гипотенузой прямоугольного треугольника. Тогда по теореме Пифагора имеем: BC² = BE² + CE². Подставим значение угла EBC = 90°, получим: BC² = BE² + CE² = BE² + (a - CE)², так как CE - катет прямоугольного треугольника.

Имеем систему уравнений:
С² = a² + b²,
BC² = BE² + CE² = BE² + (a - CE)².

Решим эту систему уравнений для нахождения значений CE, BE и BC.

Заметим, что DE = a и AC = b, поэтому:
CE = DE = a, BE = AC - BD = b - √(a² + b²).

Подставим полученные значения в формулу площади прямоугольного треугольника:
S_BEC = BE * BC / 2 = (b - √(a² + b²)) * √(a² + b²) / 2 = (b - √(a² + b²)) * √(a² + b²) / 2.

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции будет равна:
S_трапеции = S_ABCD + S_ABEF + S_BEC,
где:

S_ABCD = 2√2 * a * √(a² + b²),
S_ABEF = a * BE * √2 / 2 = a * (b - √(a² + b²)) * √2 / 2,
S_BEC = (b - √(a² + b²)) * √(a² + b²) / 2.

Таким образом, площадь трапеции будет равна:
S_трапеции = 2√2 * a * √(a² + b²) + a * (b - √(a² + b²)) * √2 / 2 + (b - √(a² + b²)) * √(a² + b²) / 2.

Надеюсь, что данное объяснение поможет вам понять решение данных задач и применить его на практике. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их! Всегда готов помочь :)