Расстояние от середины большего основания равнобедренной трапеции до вершины тупого угла равно меньшему основанию, а большее основание в 2 раза больше, чем меньшее. Вычисли периметр трапеции, если длина меньшего основания равна 11 см.

Площадь квадрата АВСD = 10*10=100см². Площадь его половины - треугольника АСD равна 50см². Площадь треугольника ВСМ равна Sbcm=(1/2)*10*5=25cм².В треугольнике ВСМ CN - биссектриса угла С (так как АС-диагональ квадрата), поэтому ВN/NM=ВС/СМ=10/5=2.
Площади треугольников ВСN и MCN относятся как ВN/NM, так как это треугольники с одной высотой, опущенной на сторону ВМ. Итак, Smcn/Sbcn=1/2 значит Smcn=(1/3)*Sbcm=(1/3)*25=25/3 = 8и1/3 см².
Тогда площадь четырехугольника АNMD равна
Samnd=Sacd-Smcn=50-8и1/3=41и2/3 см².
ответ: Sanmd=41и2/3 см².

Опустим из В высоту на АС.
В  прямоугольном тр-ке ВСН отношение катета НС к гипотенузе ВС=3:5.  ⇒ тр-к ВНС - египетский, и НС:ВН:ВС=3:4:5. ( можно проверить т.Пифагора) 
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикулярного к ней отрезка. 
Так как расстояние от М до сторон АD и АС одинаково, то по свойству биссектрисы угла точка М лежит на биссектрисе угла DАС и является центром вписанной в этот угол окружности с радиусом МТ=МЕ=9. 
Нарисуем эту окружность.
Проведем радиус МР как продолжение перпендикуляра из М к DС. Проведем через Р касательную ОК.
ОК||МТ⇒  OK|| DC, треугольник АОК - прямоугольный и подобен треугольнику АDС. 
В то же время тр-к АDС подобен треугольнику ВНС - оба прямоугольные с общим углом С. ⇒
Треугольник АОК - подобен тр-ку ВНС и ОК:АО:АК=3:4:5
 Пусть коэффициент этого отношения будет х. 
Тогда  ОК=3х, АО=4х, АК=5х 
ОР=ТМ=ТО=МР=R=9 
Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности 
r=(а+b-c):2 , где  a и b- катеты, с - гипотенуза. 
18=3х+4х-5х ⇒
 х=9 
АО=4*9=36 
В треугольнике АОК  отрезок ДО=ТО-ТД=9-3=6 
АD=36-6=30