
Пусть дан треугольник АВС с прямым углом А, в котором проведена биссектриса АЕ, длину которой нужно найти.
Биссектриса треугольника делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Запишем пропорцию:


Пусть
. Тогда
.
Запишем теорему Пифагора для треугольника АВС:







Значит:


Запишем теорему синусов для треугольника АЕС:

Так как АЕ - биссектриса, то ЕАВ и ЕАС равны по половине прямого угла, то есть по 45°.
Синус угла С определим как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Теперь можем найти биссектрису:



ответ: 
ответ: Р=32см
Объяснение: обозначим вершины треугольника А В С, а точки касания Д К М, причём Д лежит на АВ; К лежит на ВС; М на АС. Стороны треугольника являются касательными к вписанной окружности и поэтому отрезки касательных соединяясь в одной вершине равны от вершины до точки касания. Поэтому ВД=ВК=4см; АД=АМ=6см; СМ=СК=6см. Из этого следует что АМ=СМ=6см. Теперь найдём стороны треугольника зная длину отрезков:
АВ=ВС=4+6=10см; АС=6+6=12см. Теперь найдём периметр треугольника зная его стороны:
Р=10+10+12=20+12=32см