25°
Объяснение:
Дано: ABCD - выпуклый четырехугольник.
∠АВМ=65°; ∠АМВ=50°; ∠ВОС=100°; ∠АDC=60°.
Найти: ∠ВСА.
1. Рассмотрим ΔАВМ.
Сумма углов треугольника равна 180°.
⇒ ∠А=180°-(∠АВМ+∠АМВ)=180°-(65°+50°)=65°
⇒ ΔАВМ - равнобедренный (углы при основании равны)
АМ=МВ.
2. Рассмотрим ΔАОМ.
Вертикальные углы равны.
⇒∠ВОС=∠1=100°
∠2=180°-(∠1+∠ОМВ)=180°-(100°+50°)=30°
3. Рассмотрим ΔАСD
∠АСD=180°-(∠2+∠D)=180°-(30°-60°)=90°
⇒ ΔАСD прямоугольный.
СМ - медиана (АМ=МD)
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
⇒ АМ=МС=MD
4. Рассмотрим ΔАСМ.
АМ=МС (п.3) ⇒ ΔАСМ - равнобедренный.
⇒ ∠2=∠3=30° (углы при основании р/б треугольника равны)
∠АМС=180°-(∠2+∠3)=180°-60°=120°
5. Рассмотрим ΔВМС.
АМ=МВ (п.1)
АМ=МС (п.3)
⇒МВ=МС ⇒ΔВМС - равнобедренный.
∠5=∠ВСМ (углы при основании р/б треугольника равны)
∠4=∠АМС-∠АМВ=120°-50°=70°
⇒ ∠5=∠ВСМ=(180°-∠4):2=(180°-70°):2=55°
6. ∠ВСА=∠ВСМ-∠3=55°-30°=25°
С линейки проводим прямую и на ней с циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку МК. Для этого произвольно на прямой ставим точку А, с циркуля измеряем отрезок МК и строим окружность с центром в точке А радиуса МК (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом). Точку пересечения окружности с прямой обозначаем В.
Далее строим угол ВАF равный углу 1. Для этого строим с циркуля окружность радиуса МК с центром в вершине угла 1 (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом). Точки пересечения данной окружности со сторонами угла 1 обозначаем N и Р.
С циркуля измеряем длину отрезка NP и строим окружность радиуса NP с центром в точке В (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное синим цветом). Точку пересечения окружности с окружностью радиуса МК с центром в точке А обозначаем F.
Далее, проводим луч АF с линейки.
Далее, строим угол АВD равный углу 2. Для этого строим с циркуля окружность радиуса МК с центром в вершине угла 2 (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом). Точки пересечения данной окружности со сторонами угла 2 обозначаем О и Е.
С циркуля строим окружность радиуса МК с центром в точке В (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом), затем измеряем длину отрезка ОЕ и строим окружность радиуса ОЕ с центром в точке А (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное синим цветом). Точку пересечения данных окружностей обозначаем D.
Далее, проводим луч ВD с линейки.
Точку пересечения лучей АF и ВD обозначаем С. Получаем треугольник АВС, в котором по построению АВ = МК, ВАС =1, АВС =2, следовательно, треугольник АВС - искомый.
Данная задача не всегда имеет решение. Так как по теореме о сумме углов треугольника: сумма углов всякого треугольника равна 1800. Значит, сумма двух данных углов должна быть меньше 1800. Если же сумма двух данных углов будет больше 1800, то нельзя построить треугольник, углы которого равнялись бы данным углам.
Объяснение:
