Все вторую часть не обязательно

Доказывать будем опираясь на признак параллелограмма (если у четырехугольника противолежащие стороны попарно параллельны, то  это параллелограмм).
Доказательство:
1) тр АВЕ = тр СДК (по двум сторонам и углу м/д ними), т к в них
    АВ=СД (АВСД- пар-мм)
    АЕ=СК ( по условию)
    уг КСД= уг ЕАВ как внутр накрестлежащие при AB||СД и секущ АС 
  следовательно ВЕ=ДК
2) тр АЕД = тр СКВ (по двум сторонам и углу м/д ними), т к в них
    АД=СВ (АВСД- пар-мм)
    АЕ=СК ( по условию)
    уг ЕАД= уг КСВ (как внутр накрестлежащие при AД||СВ и секущ АС 
  следовательно ВК=ДЕ
3) ЕВКД - параллелограмм по признаку из пп. 1;2

Пусть координаты таковы:
A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)
AM, BN - медианы треугольника, O - точка пересечения медиан.
Так как M - середина BC, то ее координаты:
M((x2+x3)/2;(y2+y3)/2)
Находим координаты вектора AM
AM = ((x2+x3)/2-x1;(y2+y3)/2-y1)
AM = ((x2+x3-2x1)/2;(y2+y3-2y1)/2)
Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM,
Тогда
AO = 2/3 * AM
Значит вектора AO
AO = (2/3 * (x2+x3-2x1)/2;2/3 * (y2+y3-2y1)/2)
AO = ((x2+x3-2x1)/3;(y2+y3-2y1)/3)
Осталось найти координаты точки O(x0;y0)
AO = (x0 - x1; y0 - y1)
Значит
x0 - x1 = (x2 + x3 - 2 * x1)/3 => x0 = (x1 + x2 + x3)/3
y0 - y1 = (y2 + y3 - 2 * y1)/3 => y0 = (y1 + y2 + y3)/3