Вариант I
1. Дано: = CD, BC - DA, ZC - 40° (рис. 2.157). Доказать: AABD = ACDB. Найти: ZA.
2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника АВС отложены равные отрезки ВМ и BN. BD - медиана треугольника. Докажите, что MD = ND.
3. В треугольниках АВС и А. В.С = , = - ZB. Точки D и D лежат соответственно на сторонах АС и А. С,, причем CD= C, D,. Докажите, что ABDC = D, C,, Сравните отрезки BD и D

1. Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC. Угол ZC равен 40° по условию. Также известно, что BC = DA.
Из свойства равнобедренных треугольников мы знаем, что углы при основании равны, поэтому угол BCA равен углу DAC.
Тогда угол DAB равен сумме угла BCA и угла CAD, то есть BDA.
Таким образом, углы BAD и ABC равны, а значит треугольники ABD и ABC равны по двум сторонам и общему углу.
Также углы DAC и DCB равны, поэтому треугольники ADC и DCB равны по двум сторонам и общему углу.
Теперь сравним полученные равные треугольники: треугольник ABD равен треугольнику ABC, и треугольник ADC равен треугольнику DCB.
Следовательно, треугольники ACDB и AABD равны по двум сторонам и общему углу.
А значит, AABD = ACDB.

2. Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC и точку D на стороне AC.
По условию, отрезки BM и BN равны. Также известно, что BD - медиана треугольника ABC, а значит делит сторону AC на две равные части.
Обозначим точку пересечения медианы BD и отрезка MN как точку M.
Так как BD делит сторону AC на две равные части, то AM = MC.
Также, по условию, BM = BN.
Так как AM = MC и BM = BN, то у треугольника AMB все стороны равны сторонам треугольника CMB.
Таким образом, треугольники AMB и CMB равны по двум сторонам и общему углу.
Следовательно, угол BAC равен углу CBM.
Теперь рассмотрим треугольник CNB. Так как треугольник CNB является равносторонним, то все его углы равны 60°.
Угол BCM является внешним углом треугольника CNB и равен сумме углов CNB и CBN, то есть 60° + 60° = 120°.
Так как угол BCN равен углу BAC, а угол BCM равен 120°, то треугольники BCN и CMB не равны.
Следовательно, точки M и N не совпадают, и MD не равно ND.

3. Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC и треугольник A'BC, где A' - точка на стороне AC, B - точка на стороне AB, C - точка на стороне BC.
По условию, углы ABC и A'BC равны. Также известно, что ZB = ZC.
Рассмотрим треугольник ABC.
Углы при основании равнобедренного треугольника ABC равны, поэтому угол BAC равен углу BCA.
Таким образом, угол BAC равен углу BA'C.
Также углы ABC и BA'C равны, поэтому треугольники ABC и BA'C равны по двум сторонам и общему углу.
Теперь рассмотрим треугольник BA'C.
Угол BA'C равен углу BAC, и угол BAC равен углу ABC, поэтому угол BA'C равен углу ABC.
Таким образом, треугольник BA'C равен треугольнику ABC по двум сторонам и общему углу.
Так как треугольники ABC и BA'C равны, то и их стороны равны.
Таким образом, AB = BA' и BC = BA'.
Следовательно, ABDC = BA'BC и CD = DD'.
Из равенства сторон AB = BA' и BC = BA' следует, что BD = BD'.
Таким образом, отрезки BD и BD' равны.