а) Пусть искомый угол <HAP=α.
<BPA - внешний угол треугольника АРС.
<BPA = (1/2)*<A +<С (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним).
<BHA =90° - внешний угол треугольника НАР.
<BHA=α+<BPA. Или α+<BPA=90°. Или
α=90°-(1/2)*<A - <С.(1)
<A=180-<B-<C (сумма внутренних углов треугольника равна 180°).
Тогда из (1):
α=90°-(1/2)*(180-<B-<C) - <С. Или
α=90°-90°+<B/2 +<C/2-<C = <B/2-<C/2.
ответ: искомый угол равен α=|<B-<C|/2, что и требовалось доказать.
Второй вариант:
Пусть искомый угол <HAP=α.
<BPA - внешний угол треугольника АРС.
<BPA = (1/2)*<A +<С (1) (внешний угол треугольника равен сумме двух
внутренних, не смежных с ним).
<BHA =90° - внешний угол треугольника НАР.
<BРA=α+90°. Тогда из (1):
α=(1/2)*<A +<С - 90°. (2)
<A=180-<B-<C (сумма внутренних углов треугольника равна 180°).
Тогда из (2):
α=90°-(1/2)*<B-(1/2)*<C) - 90°+<С. Или
α=<С/2 - <В/2 = |<B-<C|/2.
P.S. Рассматривать все комбинации углов треугольника (в том числе и
тупоугольниго) нет необходимости, так как доказательство будет
подобным. Искомый угол равен модулю разности значений углов
В и С, так как отрицательное значение не удовлетворяет условию.
б). Искомый угол - угол СDE = α.
<CBE - внешний угол треугольника CDB.
<CBE=<DCB+α = >
(1/2)*(180 - <B) =(1/2)*<C + α . =>
α = 90° - (1/2)*<B -(1/2)*<C.
α = 90° - (1/2)*(<B+<C) . =>
2α = 180° - (<B+<C) . =>
2α = <A.
α = <A/2. Что и требовалось доказать.
в) CD и ВЕ - биссектрисы.
Искомый угол - угол α.
α = 180° - (1/2)*(В+С) (сумма внутренних углов треугольника
ВОС=180°). =>
2α =360° -(<B+<C) = 180°+180°-(<B+<C).
<A = 180°-(<B+<C).
2α = 180° + <A.
α = 90°+<A/2, что и требовалось доказать.
Примем отрезки, на которые делится гипотенуза точкой касания, равными x и y.
Тогда один катет равен 1 + x, второй равен 1 + y (с учётом свойства касательных из одной точки к окружности).
Составим систему.
Первое уравнение: по Пифагору: (1 + x)² + (1 + y)² = 5²,
второе: x + y = 5.
Сделаем замену: у = 5 - х и подставим в первое уравнение.
(1 + x)² + (1 + (5 - х))² = 5².
1 + 2x + x² + 36 - 12x + x² = 25.
2x² - 10x + 12 = 0 или, сократив на 2:
x² - 5x + 6 = 0. Д = 25 - 4*1*6 = 1. х1 = (5 + 1)/2 = 3, х2 = (5 - 1)/2 = 2.
ответ: отрезки равны 3 и 2.
