Розв'язування трикутників
1 варіант
Початковий і середній рівні ( ів)
1. Що означає розв'язати трикутник?
А) Знайти його площу. Б) Знайти його сторони.
В) Знайти його кути. Г) Знайти всі його сторони і кути.
2. Для трикутника АСМ справедлива рівність:
А) АС² = МС² + АМ² - 2•МС•АС•cos<М; В) МС² = МА² + АС² + 2•МА•АС•cos<А;
Б) АМ² = МС² + АС² - 2•МС•АС•cos<М; Г) МА² = МС² + АС² - 2•МС•АС•cos<С.
3. У трикутнику КМР <К = 67º, <М = 49º. Яка зі сторін трикутника найбільша?
А) МК; Б) КР; В) МР; Г) визначити неможливо.
4. Обчисліть (cos 150º – sіn 120º) • sіn 90º + ctg 30°.
А) – 2√3; Б) 0; В) – 1; Г) 1.
5. Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 4 см і 5 см, а кут між ними 60º.
А) 5 см²; Б) 5√ 3 см²; В) 10 см²; Г) 10√ 2 см².
6. Знайдіть площу рівностороннього трикутника, периметр якого дорівнює 6 см.
А) 3 см²; Б) √3 см²; В) 2√3 см²; Г) 9√3 см².
Достатній рівень ( )
7. Знайдіть сторону АВ трикутника АВС, якщо ВС = 5 см, АС = 4 см, sin<С = 0,6.
8. Знайдіть висоту трикутника, проведену до більшої сторони, якщо сторони трикутника дорівнюють 36 см, 29 см і 25 см.
Високий рівень ( )
9. Сторона трикутника дорівнює а, а прилеглі до неї кути дорівнюють α і β. Знайдіть висоту, опущену на неї.​

Определение пирамиды и её элементов:

основания, вершины, боковых ребер и

граней, высоты.

• Определение n – угольной пирамиды:

тетраэдра.

• Правильная пирамида.

• Площадь поверхности пирамиды.

• Усеченная пирамида и её элементы.

Свойства параллельных сечений в

пирамиде.

2

3.

S

Пирамидой

Аn

Аn-1

А1

А3

А2

называется

многогранник,

который состоит из

плоского

многоугольника основания пирамиды ,

точки S, не лежащая

в плоскости

основания, А4 вершины пирамиды и

всех отрезков,

соединяющих

вершину пирамиды

с точками

основания.

3

4.

Треугольники SAB,

SBC, SCD, SDA боковые грани.

Прямые SA, SB, SC,

SD - боковые ребра

пирамиды.

Перпендикуляр SO,

опущенный из

вершины на основание,

называется высотой

пирамиды и

обозначается Н.

4

5. Высота проецируется

В вершину

основания

На сторону

основания

Во внутреннюю

область

основания

Во внешнюю

область

основания

5

6. Высота проецируется в центр описанной окружности,

Свойства

s

1. SA=SB=SC

2. 1= 2= 3

5

4

3. 4= 5= 6

A

1

3

C

2

B

6

7. Высота проецируется в центр вписанной окружности,

Свойства

S

1.SM=SN=SK

2. 1= 2= 3

5

3. 4= 5= 6

K

1

4

3

2

N

M

7

8.

ABC – правильный;

О – точка пересечения

медиан (высот и

биссектрис), центр

вписанной и описанной

окружностей.

ABCD – квадрат;

О – точка пересечения

диагоналей.

ABCDEF – правильные

шестиугольник;

О – точка пересечения

диагоналей AD, BE и FC.

8

9. Тетраэдр -

S

B

A

H

SABC - тетраэдр

C

треугольная

пирамида,

все четыре грани

которой –

треугольники, и

любая из них

может быть

принята за

основание.

9

10. Свойства тетраэдра

10

11. Правильная пирамида

в основании правильный

многоугольник

высота проецируется в

центр основания

11

12. Правильная пирамида

Боковые грани

правильной пирамиды

- равнобедренные

треугольники, равные

между собой.

Высота боковой грани

правильной пирамиды

- апофема пирамиды.

12

13. Свойства правильной пирамиды

1. Боковые ребра равны

SA=SB=SC

2. Боковые ребра образуют

равные углы с плоскостью

основания

3. Боковые ребра образуют

равные углы с высотой

4. Боковые грани образуют

равные углы с основанием

5. Высота пирамиды

образует равные углы с

высотами боковых граней

13

14.

Площадь боковой

поверхности

правильной пирамиды

равна половине

произведения

периметра основания

на апофему.

15. Площадь пирамиды

Площадью полной

поверхности

пирамиды называется сумма

площадей

всех его граней

Площадь боковой

поверхности пирамиды равна

сумма

площадей ее боковых граней

15

16.

боковые ребра и высота делятся

этой плоскостью на

пропорциональные отрезки в

отношении :

площади сечения и основания

пирамиды относятся как

квадраты их расстояний до

вершины пирамиды:

16

17. Усеченная пирамида

17

18. Усеченная пирамида

P

Сечение

Секущая

плоскость

Вn

β

В1

Н2

В2

В3

В4

α

An

A4

Н1

A1

A2

A3

19. Усеченная пирамида

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости

другого основания, называется ВЫСОТОЙ усеченной пирамиды

Вn

В1

В4

В2

В3

An

A4

A2

A3

20.

Высота B2H трапеции A2A3B2B3 ,

В2

называется АПОФЕМОЙ

Боковые грани

усеченной

пирамиды ТРАПЕЦИИ

В3

Вn

В1

В2

В3

В4

A2

H

A3

α

An

A1

A4

A2

A3

21.

Усеченная пирамида называется правильной, если она

получена сечением правильной пирамиды

плоскостью, параллельной основанию.

Основания правильной усеченной пирамиды — правильные

многоугольники, а боковые грани — равнобедренные

P

трапеции.

Равнобедренная трапеция

Правильный многоугольник

В1

β

Вn

В4

В2

В3

An

α

A1

A4

A2

A3

22.

Вn

В1

В4

В2

В3

An

A4

A2

A3

23.

S бок

PА PВ

h

2

Площадь боковой

поверхности

правильной усеченной

В

пирамиды

В

n

В1

4

В2

An

В3

h

A4

A2

A3

24. Высота равна 6, угол, образованный боковым ребром с плоскостью основания - 30°. Найти ребро пирамиды AS.

S

6

30°

H

A

Определение пирамиды и её элементов:

основания, вершины, боковых ребер и

граней, высоты.

• Определение n – угольной пирамиды:

тетраэдра.

• Правильная пирамида.

• Площадь поверхности пирамиды.

• Усеченная пирамида и её элементы.

Свойства параллельных сечений в

пирамиде.

2

3.

S

Пирамидой

Аn

Аn-1

А1

А3

А2

называется

многогранник,

который состоит из

плоского

многоугольника основания пирамиды ,

точки S, не лежащая

в плоскости

основания, А4 вершины пирамиды и

всех отрезков,

соединяющих

вершину пирамиды

с точками

основания.

3

4.

Треугольники SAB,

SBC, SCD, SDA боковые грани.

Прямые SA, SB, SC,

SD - боковые ребра

пирамиды.

Перпендикуляр SO,

опущенный из

вершины на основание,

называется высотой

пирамиды и

обозначается Н.

4

5. Высота проецируется

В вершину

основания

На сторону

основания

Во внутреннюю

область

основания

Во внешнюю

область

основания

5

6. Высота проецируется в центр описанной окружности,

Свойства

s

1. SA=SB=SC

2. 1= 2= 3

5

4

3. 4= 5= 6

A

1

3

C

2

B

6

7. Высота проецируется в центр вписанной окружности,

Свойства

S

1.SM=SN=SK

2. 1= 2= 3

5

3. 4= 5= 6

K

1

4

3

2

N

M

7

8.

ABC – правильный;

О – точка пересечения

медиан (высот и

биссектрис), центр

вписанной и описанной

окружностей.

ABCD – квадрат;

О – точка пересечения

диагоналей.

ABCDEF – правильные

шестиугольник;

О – точка пересечения

диагоналей AD, BE и FC.

8

9. Тетраэдр -

S

B

A

H

SABC - тетраэдр

C

треугольная

пирамида,

все четыре грани

которой –

треугольники, и

любая из них

может быть

принята за

основание.

9

10. Свойства тетраэдра

10

11. Правильная пирамида

в основании правильный

многоугольник

высота проецируется в

центр основания

11

12. Правильная пирамида

Боковые грани

правильной пирамиды

- равнобедренные

треугольники, равные

между собой.

Высота боковой грани

правильной пирамиды

- апофема пирамиды.

12

13. Свойства правильной пирамиды

1. Боковые ребра равны

SA=SB=SC

2. Боковые ребра образуют

равные углы с плоскостью

основания

3. Боковые ребра образуют

равные углы с высотой

4. Боковые грани образуют

равные углы с основанием

5. Высота пирамиды

образует равные углы с

высотами боковых граней

13

14.

Площадь боковой

поверхности

правильной пирамиды

равна половине

произведения

периметра основания

на апофему.

15. Площадь пирамиды

Площадью полной

поверхности

пирамиды называется сумма

площадей

всех его граней

Площадь боковой

поверхности пирамиды равна

сумма

площадей ее боковых граней

15

16.

боковые ребра и высота делятся

этой плоскостью на

пропорциональные отрезки в

отношении :

площади сечения и основания

пирамиды относятся как

квадраты их расстояний до

вершины пирамиды:

16

17. Усеченная пирамида

17

18. Усеченная пирамида

P

Сечение

Секущая

плоскость

Вn

β

В1

Н2

В2

В3

В4

α

An

A4

Н1

A1

A2

A3

19. Усеченная пирамида

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости

другого основания, называется ВЫСОТОЙ усеченной пирамиды

Вn

В1

В4

В2

В3

An

A4

A2

A3

20.

Высота B2H трапеции A2A3B2B3 ,

В2

называется АПОФЕМОЙ

Боковые грани

усеченной

пирамиды ТРАПЕЦИИ

В3

Вn

В1

В2

В3

В4

A2

H

A3

α

An

A1

A4

A2

A3

21.

Усеченная пирамида называется правильной, если она

получена сечением правильной пирамиды

плоскостью, параллельной основанию.

Основания правильной усеченной пирамиды — правильные

многоугольники, а боковые грани — равнобедренные

P

трапеции.

Равнобедренная трапеция

Правильный многоугольник

В1

β

Вn

В4

В2

В3

An

α

A1

A4

A2

A3

22.

Вn

В1

В4

В2

В3

An

A4

A2

A3

23.

S бок

PА PВ

h

2

Площадь боковой

поверхности

правильной усеченной

В

пирамиды

В

n

В1

4

В2

An

В3

h

A4

A2

A3

24. Высота равна 6, угол, образованный боковым ребром с плоскостью основания - 30°. Найти ребро пирамиды AS.

S

6

30°

H

A