a) Пусть Середины ребер AC и BC - Соответственно D и E .
DE - очевидно 3 , поэтому надо доказать что апофемы пирамиды MD и ME тоже равны трем.
Рассмотрим треугольник AME . Он по условию прямоугольный с прямым углом M ( MA перпендикулярно MBC )
Высота MO Проецируется в центр основания ABC ( пирамида правильная )
AE = 6√3/2 = 3√3
AO=2√3
EO = √3
пусть высота MO - h
тогда по теореме Пифагора
h^2+(√3)^2+h^2+(2√3)^2=(3√3)^2
Откуда h=√6
ME^2 = h^2+3
ME=3
Доказано.
б) Пусть С - начало координат
Ось X - CA
Ось Y - перпендикулярно X в сторону B
Ось Z - перпендикулярно ABC в сторону M
Координаты Точек
D(3;0;0)
E(3/2;3√3/2;0)
M(3;√3;√6)
Уравнение плоскости DEM
ax+by+cz+d=0 подставляем координаты точек
3a+d=0
3a/2+3√3b/2+d=0
3a+√3b+√6c+d=0
Пусть d= -6 Тогда a=2 b=2/√3 c= - 2/√6
2x+ 2y/√3 - 2z/√6 - 6 =0
k=√ (4+4/3+4/6) = √6
Нормализованное уравнение
2x/√6+ 2y/(√3√6) - 2z/(√6√6) - 6/√6 =0
Расстояние от С (начала координат) до Плоскости DEM Равно
6/√6 = √6
Дано:
Прямоугольник ABCD
BF = FС, AH = HD, BE = EA, CG = GD
AH + HD = AD
BF + FC = BC
BC = AD т.к. противоположные стороны прямоугольника равны
AH = HD, BF = FC по условию
Следовательно, AH = HD = BF = FC
BE + EA = BA
CG + GD = CD
BA = СВ т.к. противоположные стороны прямоугольника равны
BE = EA, CG = GD по условию
Следовательно, BE = EA = CG = GD
Рассмотрим треугольники EBF, DCG, GDH, HAE
Угол EBF = угол FCG = Угол GDH = угол HAE = 90 градусов
Треугольники равны по углу и 2 прилежащим к нему сторонам
EF = FG = GH = HE т.к. соответственные стороны равных треугольников равны
ответ: Четырёхугольник EFGH является ромбом т.к. его стороны равны
