В равнобедренный треугольник АВС , АВ=ВС=15 , АС=24, вписана окружность (О; r). Найдите r.
Объяснение:
1)Пусть ВН ⊥АС. Центр вписанной окружности О лежит в точке пересечения биссектрис. В равнобедренном треугольнике биссектриса совпадает с высотой ⇒поэтому О лежит на высоте ВН.
АН=42 :2=12( т.к. ВН и медиана ) . Будем искать r из ΔКВО.
2) ΔАВН-прямоугольный, по т. Пифагора ВН=√(15²-12²)=9. Тогда отрезок ВО можно выразить так ВО=9-r.
По свойству отрезков касательных АН=АК=12⇒КВ=15-12=3.
3) ΔКВО-прямоугольный , по свойству радиуса , проведенного в точку касания . По т. Пифагора ВО²=ОК²+КВ²
(9-r)²=r²+3² ,81-18r+r²=r²+9 ,18r=72 , r=4 .
Около равнобедренного треугольника АВС , с АВ=ВС=30 , АС=48, описана окружность (О; R). Найдите R.
Объяснение:
1)Пусть ВН ⊥АС. Центр описанной окружности О лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров. В равнобедренном треугольнике серединный перпендикуляр совпадает с высотой ⇒поэтому О лежит на высоте ВН.
Отрезки ОВ=ОА=R, т.к. лежат на окружности.
АН=48 :2=24 ( т.к. ВН и медиана ) . Будем искать R из ΔАНО.
2) ΔАВН-прямоугольный, по т. Пифагора ВН=√(30²-24²)=18. Тогда отрезок НО можно выразить так НО=18-R.
3) ΔАНО-прямоугольный . По т. Пифагора АО²=ОН²+АН²
R²= (18-R)²+24² ,R²=324-36R+R²+576 ,36R=900 , R=25 .
