Контрольна робота № 3 Тема. Теорема Фалеса. Подібність трикутників
1. На
рисунку 162 АВ || CD,
MA = 12 см,
AC = 4 см, BD = 6 см. Знайдіть MB.
А
7
М.
B D
Рис. 162
2. Трикутники ABC i A, B,C, подібні, причому
сторонам АВ і ВС відповідають сторони
A, B, і В,С1. Знайдіть невідомі сторони цих
трикутників, якщо AB = 8 см, ВС =10 см,
А, В, = 4 см, A,C = 6 см.
AB = 12 см,
3. Відрізок АК бісектриса трикутника ABC,
ВК = 8 см, СК = 18 см. Знайдіть AC.
4. У трапеції ABCD з основами AD і BC діагоналі перетинаються в
точці 0, ВС: AD = 3:5, BD = 24 см. Знайдіть BO i OD.
5. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 7 см і 8 см. Знайдіть
сторони подібного йому трикутника, периметр якого дорів-
Нює 57 см.
6." Через точку M, яка знаходиться на відстані 15 см від центра кола
радіусом 17 см, проведено хорду, яка поділяється точкою М на
відрізки, довжини яких відносяться як 1:4. Знайдіть довжину цієї
хорди.​

Основанием пирамиды ДАВС является правильный треугольник, сторона которого равна а, Ребро ДА перпендикулярно к плоскости АВС, а плоскость ДВС составляет с плоскостью АВС угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
----
Если из какой-либо точки ребра проведём на каждой грани по перпендикуляру к ребру, то образованный ими угол будет углом между плоскостями.
«Плоскость ДВС составляет с плоскостью АВС угол 30° " - означает, что
АМ и ДМ перпендикулярны ВС.
А так как треугольник АВС - правильный, то СМ=ВМ. 
Сделаем рисунок и обратим внимание на то, что прямоугольные треугольники ДАМ и АМС равны.- у них равны углы и АМ - общий катет.
Поэтому ДМ=а.
ДА противолежит углу 30°, поэтому равна а/2
Площадь боковой поверхности состоит из площади двух равных прямоугольных треугольников ДАС =ДАВ и площади равнобедренного треугольника ДСВ.
S ДАС=ДА*АС:2=а²:4
S  ДАС+  S ДАВ=а²:2
S ДСВ=ДМ*СВ:2=а²:2
Площадь боковой поверхности равна 2а²:2=а² 

Главное, что нужно найти - это угол, стягиваемый хордой. То есть угол СОD.

Ясно, что

угол АОС + угол СOD + угол DOB = 180 градусов (полуокружность).

Поэтому

угол СOD = 180 - (23 + 37) = 120 градусов.

Построим РАВНОБЕДРЕННЫЙ треугольник COD и проведем в нем ОМ через середину CD. ОМ перпендикулярно CD, и ОМ делит угол COD пополам.

То есть треугольник СОМ прямоугольный, и угол СОМ = 60 градусов. 

Поэтому ОМ = ОС/2 = R/2; (R - радиус окружности).

(если вам не понятно, откуда это взялось, то возьмите 2 треугольника СОМ и MOD и приставьте друг к другу не катетом ОМ, а катетами СМ = МD. Получится равносторонний треугольник, потому что все его углы будут 60 градусов. Значит ОМ = ОС/2)

Осталось вычислить СМ по теореме Пифагора, и умножить на 2, получим длину CD

СD = 2*корень(R^2 - (R/2)^2) = R*корень(3) = 15*корень(3).