1. Дана прямая четырёхугольная призма, основанием которой является ромб. Стороны ромба равны 8 см, угол равен 60º. Меньшая из диагоналей призмы равна 10 см. Найдите высоту призмы. 2. Дан прямоугольный параллелепипед с линейными измерениями 15 см, 8 см и 7 см. Найдите площадь диагонального сечения.
3. Дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания равна 4 см, апофема равна 9 см. Найдите объем пирамиды.
ХЭЛП МИ

Угол между плоскостями измеряется линейным углом, образованным перпендикулярами, проведенными из одной точки, принадлежащей общему ребру.
построим секущую плоскость параллельную АВС проходящую через точку D.
Угол между плоскостями АВС и АDВ1 равен углу между плоскостями DEF и ADB1. Линией пересечения этих плоскостей будет отрезок DK. 
По условию К середина EF (т к D середина бокового ребра,  DEF параллельна АВС и АВ1 - диагональ прямоугольника АА1В1В), значит DK медиана правильного треугольника DEF, DК перпендикулярна FE,  треугольник АDВ1  равнобедренный (AD=DF)6  DK 2 медиана равнобедренного треугольника ADB1,  DK перпендикулярно АВ1. Угол В1КF - искомый линейный угол между плоскостями. Найдем его из треугольника FKB1. B1F=3, KF=1,5.


ответ arctg 2

Пусть Е - точка пересечения AC и BD. Пусть EB = x; AE = y; далее, стандартно, AB = c; BC = a; AC = b = 5; Известно, что BE = 3*x; надо найти a + b + c (то есть, на самом деле, a + c, b = 5)
По свойству биссектрисы (b - y)/y = a/c;
и по свойству пересекающихся хорд y*(b - y) = 3*x^2;
отсюда получается (a/c)*y^2 = 3*x^2;
кроме того, треугольники ABE и BDC подобны (по двум углам, углы BAE и BDC опираются на одну дугу BC, а углы ABE и DBC равны, потому что BE биссектриса), поэтому с/(3*x) = 4*x/a; или a*c = 12*x^2; 
если разделить два последних равенства друг на друга, получится
y^2/c^2 = 1/4; или y = c/2; b - y = a/2; 
Следовательно a/2 + c/2 = b; и a + b+ c = 3*b = 15;