Отрезок КС – перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, КВ перпендикулярно АВ.
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей КАС и АВС.
в) Чему равен КВ, если АС=14, ВС=6. Угол КВС равен 45 градусам.

2) Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки А до плоскости α, если АВ=5, АС=2√23
, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен 60 градусам.

См. рисунок в файле
решать можно разными
например, "в лоб" - там вычислять нужно
1) по теореме Пифагора
   (r+6)²+(r+20)²=(6+20)²  Находим из этого уравнения r, потом катеты, потом площадь. Долго и муторно
2) метод "оптимальный"
     S=(r+6)*(r+20)/2=(r²+26r+120)/2  - обращаем внимание на r²+26r

(r+6)²+(r+20)²=(6+20)²  раскрывая скобки и приводя, получаем
r²+26r=120
эти 120 подставляем в S
S=(r²+26r+120)/2 =(120+120)/2=12

Ну и третий - самый простой и "для ленивых"  (доказывается легко)
Если точка касания вписанн. окр. делит гипотенузу на отрезки, то площадь треугольника равна произведению длин этих отрезков., т.е 6*20=120
 

Решу в общем виде. Пусть ромб имеет сторону a и диагонали d1 и d2. Тогда a = sqrt((d1/2)^2+(d2/2)^2)=sqrt(d1^2+d2^2)/2.
Теперь рассмотрим треугольник, у которого две стороны равны a, третья сторона является d1. Искомый острый угол находится в этом треугольнике между сторонами, равными a. Площадь этого треугольника можно найти двумя
1) S=1/2 * d1 * d2/2 = d1*d2/4
2) S=1/2 * sin(fi) * a * a = 1/2 * sin(fi) * (sqrt(d1^2+d2^2)/2)^2 = 1/2 * sin(fi) * (d1^2+d2^2) / 4=(d1^2+d2^2)*sin(fi)/8
Приравняем их и получим:
d1*d2/4=(d1^2+d2^2)*sin(fi)/8,
sin(fi)=2*d1*d2/(d1^2+d2^2)
Подставим значения:
sin(fi)=2*3*4/(3^2+4^2)=24/25