1.Серединный перпендикуляр стороны АВ равнобедрен- ного треугольника ABC (AB = BC) пересекает сторо-
ну AC в точке Е. Найдите сторону AC, если AB = 14 см,
а периметр треугольника ВЕС равен 40 см.
2.Найдите стороны равнобедренного треугольника, если
его периметр равен 87 см, а основание составляет
0,9 боковой стороны.
3.Периметр равностороннего треугольника равен 18 см.
Одна из его сторон является основанием равнобедрен-
ного треугольника, периметр которого равен 20 см.
Найдите стороны равнобедренного треугольника.
4.Докажите равенство равнобедренных треугольников
по медиане, проведённой к основанию, и углу при вер-
шине.
5.На стороне QD треугольника
TQD отметили точку F так, что
DF: FQ = 1:4. Биссектриса QE
пересекает отрезок TFв его сере-
дине. Найдите TQ, если извест-
но, что DF = 3 см.

Начнем с самого простого:
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности (свойство). Но можно и так: диагонали правильного шестиугольника разбивают описанную окружность на 6 равных равносторонних треугольника (см. рисунок). Поэтому сторона этого шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Rш=10см.
Диагональ правильного четырехугольника (квадрата) равна диаметру описанной около него окружности (свойство). D=20см.
Тогда его сторона равна Rк= 10√2см.
Сторона правильного треугольника равна  R*√3 (формула). Или в нашем случае 10√3.
Но можно и без формулы: по теореме косинусов.
a² = 2*R²-2R²*Cos120° или a²=200*(1+1/2) = 100*3. a=√300 = 10√3см.
ответ: сторона треугольника равна 10√3см, четырехугольника10√2см и шестиугольника 10см.

Иван I Данилович (Калита) (?-31 МР 1340) - князь московский с 1325, Великий князь владимирский с 1328. Вступил на престол после гибели в Орде Юрия Даниловича и передачи ярлыка в Тверь (1325 20 НЯ) . Сыграл большую роль в укреплении влияния и расширении территории Московского княжества. Покупал у бедных князей деревни, сёла и даже города (Белозёрск, Галич, Углич) . В 1332 начал борьбу с Новгородом за "дани новгородские", отвоевал Торжок. Первым из русских князей называл себя "великим князем всея Руси". Его политику поддерживал митрополит Пётр, подготовивший перенос митрополичьей кафедры из Владимира в Москву (Москва становится религиозным центром Руси) . После разгрома москвичами Твери в наказание за убийство тверичами ханских баскаков, Иван получил ярлык на великое княжение (Москва становится политическим центром Руси) . Собирая дань для Орды, он удерживал часть этой дани для собственной казны. Обеспечил длительный мир для Московского княжества. Разделил свои земли м. сыновьями Симеоном, Иваном, Андреем, отдал Москву им в общее пользование. Погребён в Даниловском монастыре.