дана трапеция ABCD
EM - средняя линия
пересекает диагонали в точках К и N
AC и BD - диагонали
из свойств средней линии трапеции: EM||BC||AD
CM=MD и EM||BC, тогда по теореме Фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) EM проходит через точку N.
AE=EM и EM||BC, тогда по теореме Фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) EM проходит через точку K.
Следовательно: AK=CK и DN=BN
можно также доказать через треугольники ABC и DCB - средняя линия трапеции будет средней линией этих треугольников. Средняя линия треугольника делит стороны пополам, значит диагонали пересекаются пополам.
сделаем построение по условию
на рисунке осевое сечение шара и конуса (вертикальный разрез через вершину конуса)
r -радиус вписанной окружности, он же радиус шара вписанного в конус
r=3√2-3
треугольник АВС –равнобедренный, прямоугольный <ABC=90 град
<A=<C=45 град
BC1 - высота,биссектриса,медиана
<B1BO=<ABC1=90/2=45
OB1=r -перпендикуляр в точке касания
OС1=r -перпендикуляр в точке касания
треугольник B1BO –равнобедренный, прямоугольный < BB1O =90 град
BO=B1O / sin<B1BO =r / sin45 =(3√2-3) / 1/√2 =6-3√2
BC1=BO+OC1=6-3√2 +r =6-3√2 +3√2-3=3 - это высота пирамиды
треугольник ABC1 –равнобедренный, прямоугольный <AC1B =90 град
<A=<ABC1=45 град
AC1=BC1=3
AC1– это радиус основания
Площадь основания So= pi*AC1^2 = pi*3^2=9pi
Объем конуса V=1/3 *BC1 *So=1/3 *3 *9pi = 9pi =9п
ответ 9п
