1. Устно сформулируйте следующие теоремы и свойства. a) Сформулируйте первый признак равенства треугольников. b) Сформулируйте второй признак равенства треугольников. c) Сформулируйте третий признак равенства треугольников. d) Сформулируйте свойство углов равнобедренного треугольника. e) Сформулируйте свойство биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника.
2. Решите задачи. Кратко – только основная часть доказательства, без строгого оформления.
a) На рисунке 1 АВ = ДВ, ∠1 = ∠2. Докажите, что ΔABC = ΔДВС.
b) На рисунке 2 ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Докажите, что ΔАВД = ΔСВД.
c) На рисунке 3 АВ = ДС, ВС = АД. Докажите, что ΔАВС = ΔСДА.

РЕШЕНИЕ

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

-боковые ребра правильной пирамиды равны;

-все боковые грани — равные равнобедренные треугольники

высота пирамиды Н=l*sin(b)

основание пирамиды равносторонний треугольник

все углы равны - 60 град

все стороны равны   -а

ВК - медиана, биссектриса, высота

ВО=l*cos(b)

BO=2/3*BK

BK=3/2*BO=3/2* l*cos(b)

сторона основания  a =BK/sin60=3/2* l*cos(b)/(√3/2)= √3*l*cos(b)

высота боковой грани SM=√(SB^2-MB^2)=√(l^2-(a/2)^2)=√(l^2-((√3*l*cos(b))/2)^2)=

=1/2*l*√(4-3cos^2(b))

выразим ПЛОЩАДЬ треугольника SDB

- через ВЫСОТУ  и ОСНОВАНИЕ двумя тогда имеем отношение BD*SM =SB*DF  =>  DF= BD*SM /SB

h=DF=a* 1/2*l*√(4-3cos^2(b)) / l =√3*l*cos(b) *1/2*l*√(4-3cos^2(b)) / l=

=√3/2 *l*cos(b)√(4-3cos^2(b))

теорема косинусов

a^2 = h^2+h^2-2h^2*cosA =2h^2(1-cosA)

cosA=1 - a^2 / (2*h^2)

cosA =1- (√3*l*cos(b))^2 / (2*√3/2 *l*cos(b)√(4-3cos^2(b)))^2 = 1 - 1 / (4-3cos^(b))

A = arccos (1 - 1 / (4-3cos^(b)) )

ответ  < A = arccos (1 - 1 / (4-3cos^(b)) )  ; Н=l*sin(b)

АВСD - равнобокая трапеция, АС и ВD диагонали, по условию они перпендикулярны. 
Проведите СК параллельно диагонали ВD. К лежит на продолжении АD. Получится треугольник АСК. Он прямоугольный, потому что угол АСК= углу АОD = 90 градусов. К тому же этот треугольник равнобедренный, потому что в нем СК=АС. FR - основание треугольника.
Проведите высоту этого треугольника с вершины С. Пусть это будет отрезок СМ.
Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, будет чем ? -медианой. Значит, М - середина АК. СМ = 1/2АК = 1/2(АD + DК)
а DК = ВС, как противоположные стороны параллелограмма ВСКD.
Тогда
СМ = 1/2(а + в)
А средняя линия как раз и равна 1/2(а+в)
Значит, высота равна средней линии.