Пряма проведена через вершину В трикутника АВС, перпендикулярно до його медіани АК і ділить її навпіл. Знайти сторону АВ, якщо СВ=10см​

ВD - высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит и биссектриса.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

В треугольнике АВМ ВО - биссектриса, значит

АО : ОМ = ВА : ВМ

ВА = АО · ВМ / ОМ = 18 · 16 / 12 = 24 см

Доказательство свойства биссектрисы (на всякий случай)

Проведем прямую АК║BD, К - точка пересечения этой прямой с прямой ВС.

∠DBA = ∠KAB как накрест лежащие (AK ║ BD, AB секущая),

∠CBD = ∠СКА как соответственные (АК ║ BD, СК секущая),

так как ∠DBA = ∠CBD, то и ∠КАВ = ∠СКА, тогда

ΔАВК равнобедренный, АВ = ВК.

По обобщенной теореме Фалеса:

АО : ОМ = КВ : ВМ или

АО : ОМ = АВ : ВМ.

Пусть дан треугольник ABC, углы А, B, C, стороны a, b, c;

Теорема синусов:
a/sinA = b/sinB = c/sinC

Теорема косинусов:
a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA; (ну и также для остальных углов)
(короче, похожа на теорему Пифагора, только обобщённую на произвольный треугольник).

Ну вот. Пусть те стороны равны 3х и 8х. Тогда пиши теорему косинусов:
441= 9*х^2+64*x^2-48*x^2*0,5=49*x^2;
x^2 = 9 =>x=3. Тогда две другие стороны равны 9 и 24 соответственно.
Далее по теореме синусов можно было бы найти углы - но этого не требуется.