1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
AD = BC.
2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).
Пусть дан правильный треугольник АВС со стороной "а". Тода его площадь равна S=(√3/4)*a² (формула). Пусть дана точка М внутри треугольника таая, что МН=4см, МР=5см и МК=6см, где МН, МР и МК - перпендикуляры к сторонам АВ, ВС и АС соответственно или, что одно и то же, высоты треугольников АМВ,ВМС и АМС соответственно. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей этих треугольников, то есть (1/2)*4*а+(1/2)*5*а+(1/2)*6*а = (√3/4)*а² => а = 7,5*4/√3.
Итак, сторона нашего треугольника равна 10√3. Тогда по приведенной выше формуле Sabc = (√3/4)*300 = 75√3 см².
ответ: Sabc= 75√3 см².
