1. Сторона треугольника a= 2Rcos30o.
2. 1) Знайдемо радіус вписаного кола у правильний трикутник:
2) Діагональ вписаного у коло квадрата рівна діаметру цього кола і дорівнює подвоєному радіусу:
3) Сторону квадрату знайдемо за т. Піфагора:
3.
4.В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных сторон равна. то есть AD+BC=AB+CD
Опустим с вершины B трапеции на основание BK высоту BK, тогда
AK=AD-KD=28-21=7
Пусть высота трапеции BK=x, тогда
(AB)^2=(BK)^2+(AK)^2=x^2+7^2
AB=sqrt(x^2+7^2)
Так как
AD+BC=AB+CD, то
21+28=x+sqrt(x^2+7^2)
sqrt(x^2+7^2)=49-x
x^2+7^2=(49-x)^2
x^2+49=2401-98x+x^2
98x=2352
x=24, то есть высота трапеции равна 24
R=H/2
R=24/2=12 - радиус вписанной окружности
Объяснение:
Центр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, лежит на середине отрезка КЕ (точки К и Е - середины оснований).
Так как точка пересечения диагоналей лежит на том же отрезке, но ближе к меньшему основанию, высота пирамиды лежит на образующей конуса, проходящей через точку К.
Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, а суммы противолежащих сторон равны.
Итак, ВР = КЕ = 2R,
AB + CD = AD + BC
AD = b, BC = a.
Чтобы найти высоту пирамиды, надо знать длину КН, а для этого найти расстояние между центром окружности и основанием высоты пирамиды ОН = х.
ΔАВР: ∠АРВ = 90°,
AP = BP · ctg α = 2R · ctg α
Тогда
Так как по свойству равнобедренной трапеции
АР = (AD - BC) / 2, то
b - a = 2AP = 4R · ctg α
ΔAHD ~ ΔCHB по двум углам, тогда их высоты относятся как сходственные стороны:
a(R + x) = b(R - x)
aR + ax = bR - bx
x(a + b) = R(b - a)
KH = R - x = R(1 - cos α)
Справа на рисунке осевое сечение конуса, проходящее через хорду КЕ.
∠KSH = ∠KMO = β как соответственные при SH║MO и секущей КМ.
SH = KH · ctg β = R(1 - cos α) · ctgβ
Итак, объем пирамиды:
Осталось из прямоугольного треугольника МОЕ выразить R:
