Дано: АВСD – прямоугольная трапеция, AB=15, KD=20, CD=9, угол CDK=90°, угол AKB=90°
Найти: Площадь трапеции​

Чтобы найти площадь трапеции, нам понадобится знание ее оснований (AB и CD) и высоты (h). Основание AB и CD уже заданы в условии задачи, так что нам нужно найти только высоту.

Шаг 1: Найдем высоту трапеции h.

Обратим внимание на прямоугольные треугольники CDK и AKB. Они имеют по одному прямому углу и смежные углы AKB и CDK.

Таким образом, треугольники CDK и AKB подобны друг другу по критерию "угол-прямоугольник-угол", или УПУ.

Шаг 2: Используя свойство подобных треугольников, найдем высоту h.

Отношение соответствующих сторон пропорциональных треугольников равно. Поэтому,

AB / AK = CD / CK

Подставим известные значения:

15 / AK = 9 / CK

Чтобы решить эту пропорцию, воспользуемся теоремой Пифагора для каждого из треугольников:

AK^2 + CK^2 = AB^2

Для треугольника AKB:

AK^2 + h^2 = 15^2

Для треугольника CDK:

CK^2 + h^2 = CD^2 = 9^2

Подставим значения:

AK^2 + h^2 = 225 (Уравнение 1)
CK^2 + h^2 = 81 (Уравнение 2)

Вычтем Уравнение 2 из Уравнение 1, чтобы убрать переменную h:

AK^2 - CK^2 = 225 - 81
(AK + CK)(AK - CK) = 144

Шаг 3: Найдем AK и CK.

Заметим, что AK = AB + BK и CK = CD - DK, поэтому:

AK = 15 + BK
CK = 9 - 20

Подставим значения обратно в Уравнение 1:

(15 + BK + 9 - 20)(15 + BK - 9 + 20) = 144

(4 + BK)(36 + BK) = 144

Раскроем скобки:

144 + 4BK + 36BK + BK^2 = 144

BK^2 + 40BK = 0

BK(BK + 40) = 0

BK = 0 или BK = -40

Примем BK = 0 (поскольку отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте).

Таким образом, AK = 15 + 0 = 15 и CK = 9 - 20 = -11.

Теперь подставим AK и CK в Уравнение 1:

AK^2 + h^2 = 225
15^2 + h^2 = 225
h^2 = 225 - 225
h^2 = 0

Следовательно, h = 0.

Шаг 4: Найдем площадь трапеции.

Трапеция может рассматриваться как сумма двух прямоугольных треугольников ABK и CDK, или как сумма площадей прямоугольника ACDK и прямоугольного треугольника BC.

Площадь прямоугольника ACDK равна CD * AK:

9 * 15 = 135

Площадь прямоугольного треугольника BC равна (1/2) * CK * h:

(1/2) * (-11) * 0 = 0

Таким образом, площадь трапеции равна 135 + 0 = 135.