Контрольная работа по геометрии № 2: «Треугольники» 1. Начертите два равных треугольника ХУZ и TРК. ( ) Выпишите все равные элементы у них. ( ) Покажите равенство этих элементов на чертеже. ( )
2. По данной символической записи выполните чертёж:
МК = PQ; МN = PR; ےМ= ےР, => ∆МКN = ∆PQR. ( )
И отметить на чертеже указанные элементы. ( )
О каком признаке равенства треугольников идёт речь? ( )
3. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АВ. Точки М и К – середины сторон АС и ВС соответственно. Точка Н лежит на стороне АВ так, что угол АМН равен углу ВКН. Найти углы ВСН и ВНС, если угол АСВ равен 32°.​

По определению хорда МР и диаметр КЕ - отрезки, соединяющие точки окружности. Следовательно, они могут образовать искомый угол только пересекаясь внутри окружности, имея одну общую точку, например, Н.
КЕ - диаметр, значит дуга КРЕ=180°. Дуга  КРЕ - это сумма дуг КР и РЕ, причем дуга РЕ=0,8*КР (дано). Тогда КР+РЕ=1,8*КР=180°. Отсюда КР=100°, а РЕ=80°. Вписанный угол КЕМ равен половине градусной меры дуги МК, на которую он опирается, то есть <KЕM=13°. Вписанный угол ЕМР, опирающийся на дугу РЕ, равен 40°. Тогда в треугольнике НМЕ (Н - точка пересечения хорды и диаметра), угол МНЕ (искомый угол) равен 180°-13°-40°=127°.
ответ: 127°

Сначала строишь отрезки a и b.
Потом с циркуля и линейки строишь:
1) Отрезок, равный 2b.
2) Прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными а.
3) Отрезок 2a.
4) Прямоугольный треугольник с катетами, равными 2a и a√2 (отрезок a√2 - это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными а).
5) Прямоугольный треугольник с катетами, равными 2b и a√6 (отрезок a√6 - гипотенуза второго прямоугольного треугольника).
6) Гипотенуза третьего прямоугольного треугольника равна длине заданного отрезка x.
Всё построение строится на теореме Пифагора.