Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника = 180°.
Сумма углов, прилегающих к одной стороне трапеции = 180°, следовательно, углы при основаниях вписанной трапеции равны.
В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию
Сделаем рисунок и обозначим вершины трапеции АВСД.
ВС - меньшее основание. Центр окружности - О.
Угол ВДА опирается на ту же дугу, что центральный угол ВОА, равный по условию 120°.
Градусная мера вписанного угла вдвое меньше центрального.
Угол ВДА=САД=60°
Опустим из В высоту ВН.
Высота равнобедренного треугольника делит основание на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований, т.е. средней линии.
НД= длине средней линии трапеции.
В прямоугольном ∆ ВНД угол НВД= 30°.
Катет НД противолежит углу НВД, равному 30°.
НД=ВД:2=0,5 d
Нарисуем треугольник АВС.
Проведем в нем высоты АК и СМ.
По условию задачи они пересекаются под углом 110º.
1) Рассмотрим треугольник АМС.
Угол АМС =90º
Сумма острых углов в нем 90º, ∠А=70º по условию, следовательно,
∠ МСА=90º-70º=20º.
2)Рассмотрим треугольник АDС.
Так как ∠МСА=20 градусов,
то ∠DAC=180-110-20=50º.
3)Так как ∠ А=70º, а
∠КАС=50º,то ∠ВАК=70-50-20º
4)В прямоугольном треугольнике АВК ∠АКВ прямой, ∠ВАК=20º, следовательно, ∠В=90-20=70º
5) В треугольнике АВС ∠С=180-70-70=40º
ответ: Угол С=40º
