Задача: вершина С равностороннего треугольника АВС со стороной 8 см удалена от плоскости на расстояние 2 см. Вычислить угол между плоскостями треугольника АВС и , если сторона АВ лежит в плоскости.

А) Рассмотрим треуг. АВЕ и СВД.
АВ = ВС как боковые стороны равнобедренного треуг. АВС. ВЕ = ВД как половинки боковых сторон равнобедренного тр-ка АВС (т.к. АЕ и СД медианы). Угол В у этих тр-ков общий. Следовательно тр-ки  АВЕ = СВД по первому признаку.
б) Рассм. тр-ки ДОЕ и АОС.
В равнобедренном тр-ке медианы, проведенные из вершин при основании к боковым сторонам равны и медианы пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 считая от вершины. Значит АЕ = СД, ОД = ОЕ = 1/3 АЕ, АО = ОС = 2/2 АЕ. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно тр-ки  ДОЕ и АОС равнобедренные.
в) Повторюсь, медианы треугольника пересекаются в одной точке (эта точка называется центроид). Значит точка О лежит на медиане, проведенной из вершины В к основанию. Но медиана, проведенная из вершины равнобедренного треугольника к основанию является также и бисектриссой. Значит точка О лежит на бисектриссе, а точки Д и Е принадлежат боковым сторонам равнобедренного тр-ка АВС, следовательно ВО бисектрисса угла ДОЕ.

2. У равных тр-ков равны соответствующие стороны и углы.
Пусть DE = DF = 4 см - боковые стороны, FE = 5 см - основание, тогда периметр 
DEF = 4 + 4 + 5 = 13 см. И как было сказано вначале, что у равных тр-ков равны соответствующие стороны, то АС = АВ = 4 см, ВС = 5 см. Р = 13 см.

Но может быть и другой вариант решения, поскольку в задаче не указано какая из сторон является основанием, а какая боковая, поэтому.
EF = DF = 5 см - боковые стороны, DE = 4 см - основание, Р = 5 + 5 + 4 = 14 см.
Следовательно периметр тр-ка АВС = 14 см.
  

Центр описанной окружности треугольника - это точка пересечения серединных перпендикуляров. Исходя из этого можно сделать следующие вычисления:

 Сначала найдем неизвестный угол равнобедренного треугольника: 180 - (30+30) = 120.

Затем проведем серединные перпендикуляры от каждой стороны треугольника и получим несколько прямоугольных треугольников, гипотенузой которых является расстояние от точки пересечения перпендикуляров до углов. Это расстояние есть радиус описанной окружности.  Теперь воспользуемся чертежом. Найдем половину угла А: 120/2 = 60. Вычислим величину угла АОМ: 180 - (60+90) = 30.

Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Катет АМ = 2см, следовательно гипотенуза, она же - радиус, равна 2*2 = 4см.

ответ: R=4см.