для прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 у которого ab=4 см AD= 4 см aa1=3 Найдите косинус угла между плоскостями ABC1 и BCD1​

P₁ и p₂ - проекции боковых сторон на основание
h - высота трапеции
По теореме Пифагора для красного треугольника
p₁² + h² = 17²      (1)
По теореме Пифагора для малинового треугольника
p₂² + h² = 25²      (2)
и известна длина нижнего основания
p₁ + p₂ + 16 = 44
p₁ + p₂ = 28      (3) 
Три уравнения, три неизвестных
Из второго вычтем первое
p₂² - p₁² = 25² - 17²      (4)
Из третьего выразим p₂
p₂ = 28 - p₁
и подставим в четвёртое
(28 - p₁)² - p₁² = 25² - 17²
28² - 56p₁ +  p₁² - p₁² = (25 - 17)(25 + 17)
28² - 56p₁ = 8*42
сократим на 4
14² - 14p₁ = 2*42
14*14 - 14p₁ = 2*3*14
сократим на 14
14 - p₁ = 6
p₁ = 8
Подставим значение p₁ в первое уравнение
8² + h² = 17²      
64 + h² = 289
h² = 289 - 64
h² = 225
h = √225 = 15
И это ответ :)

MD_|_ α
MA ∩ α = A,, AD=12√5  см
MB ∩ α= B, BD=12 см
MB : MA = 5 : 7
пусть х- коэффициент пропорциональности (x>0), тогда MВ=5x, MА=7x

1. прямоугольный треугольник MDA:
 катет AD=12√5
гипотенуза MA=7x
катет MD найти по теореме Пифагора:
MD²=MA²-AD²,  MD²=(7x)²-(12√5)²

MD²=49x²-144*5

2.  прямоугольный треугольник MDB:
гипотенуз MB=5х
катет BD=12
кате MD найти по теореме Пифагора:
MD²=MB²-BD²,  MD²=(5x)²-12²

MD²=25x²-144

MD - общая для ΔMDA и ΔMDB, => уравнение
49x²-144*5=25x²-144
24x²=144*4
x²=24

ΔMDA: 49*24-144*5, MD²=24*19. MD=2*√6*19

MD=2√114 см - расстояние от точки М до плоскости