рассматриваем касательные проведенные к окружности из вершин треугольника.
Гипотенуза точкой касания делится на отрезки х и 10-х - это и отрезки катетов. Сами катеты х+2 и 10-х+2=12-х
используем теорему пифагора (х+2)(х+2)+(12-х)(12-х)=10*10
х2+4х+4+144-24х+х2=100
2х2-20х=-48
х2-10х=-24
(х-5)2-25=-24
х-5=1
х=6 второй отрезок гипотенузы 10-6=4, а катеты 6+2=8 и 4+2=6
Площадь равна 1/2 *8*6=24
радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен к касательной. Пусть треугольник АВС, угол С=90градусов, О-центр вписанной окружности. Проведём радиусы ОК, ОМ, ОН, ОК=ОМ=ОН=2, ОМ перпендикулярно ВС, ОН перпендикулярно АС, ОК перпендикулярно АВ. НС=СМ=2, Пусть МВ=х, тогда КВ=х, АК=10-х, АН=10-х. По т. Пифагора
(2+х)^2+(2+10-x)^2=10^2
4+4x+x^2+144-24x+x^2-100=0
2x^2-20x+48=0
x^2-10x+24=0
x=6. x=4
АС=6, ВС=8
S(АВС)=1/2*АС*ВС=1/2*6*8=24
