1) Дано: ∠DAC = ∠DCA = ∠CAB = ∠BAC.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство: Рассмотрим ΔABC и ΔAD.AC - общая сторона, ∠DAC = ∠DCA = ∠CAB = ∠BAC (по условию) ⇒ ΔABC = ΔAD по стороне и двум прилежащим к ней углам.Так как треугольники равны, то и их соответствующие элементы равны. ⇒ AD = BC ; AB = DC. ⇒ABCD - параллелограмм, так как в этом четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны.
ответ: что и требовалось доказать.
2) Дано: DO = OB ; ∠OAB = ∠DCO.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство: Рассмотрим прямые DC и AB при секущей AC.Накрест лежащие углы ∠OAB = ∠DCO (по условию) ⇒ DC║AB.
Рассмотрим ΔAOB и ΔDOC.∠OAB = ∠DCO (по условию) ; DO = OB ; ∠AOB = ∠DOC (вертикальные). ⇒ ΔAOB = ΔDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам.Так как треугольники равны, то и их соответствующие элементы равны. ⇒ AB = DC. ⇒ ABCD - параллелограмм, так как в этом четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны.
ответ: что и требовалось доказать.
3) Дано: ∠D = ∠A = ∠B.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство: Рассмотрим прямые DC и AB при секущей AD.Накрест лежащие углы ∠D = ∠A (по условию) ⇒DC║AB.Так как DC║AB, то ∠B = ∠C (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей).Теперь рассмотрим прямые AD и BC при секущей DC.Соответственные углы ∠D = ∠C (по выше доказанному) ⇒ AD║BC. ⇒ ABCD - параллелограмм, так как в этом четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны (по определению).
ответ: что и требовалось доказать.
Объяснение:
Решим данную задачу при уравнения.
Пусть один из смежных углов х градусов, тогда второй из смежных углов 3×х градусов. Нам известно, что сумма градусных мер смежных углов равна 180 градусов. Составляем уравнение:
х + 3 × х = 180;
х × (1 + 3) = 180;
х × 4 = 180 (для того, чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель);
х = 180 : 4;
х = 45 градусов — один из смежных углов;
45 × 3 = 135 градусов — второй из смежных углов.
ответ: 45 и 135 градусов.
