В прямоугольной трапеции ABCD (угол BAD) равен 90 градусов, с основанием AD=12 и BC=8, больше диагональ BD=20. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. а) Докажите, что треугольник ВМС и DMA подобны. б)Найдите площадь треугольника BMC​

Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.

Проведем ВН⊥АС. Так как угол АСВ тупой, точка Н будет лежать на продолжении стороны АС (см. плоский чертеж).

ВН - проекция DH на плоскость АВС, ⇒ DH⊥AC по теореме о трех перпендикулярах.

DH - искомая величина.

∠ВСН = 180° - ∠ВСА = 180° - 150° = 30° так как это смежные углы.

В прямоугольном треугольнике ВСН напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы:

ВН = ВС/2 = 6/2 = 3

ΔDBH: ∠DBH = 90°, по теореме Пифагора

DH = √(DB² + BH²) = √(16 + 9) = 5

AB^2+AC^2-2AB*AC*cos(a/2)=BC^2
AD^2+AC^2-2AD*AC*cos(a/2)=DC^2
************
-2AB*AC*cos(a/2)=BC^2-(AB^2+AC^2)
-2AD*AC*cos(a/2)=DC^2-(AD^2+AC^2)
************
(BC^2-(AB^2+AC^2))*AD=(DC^2-(AD^2+AC^2))*AB
AC^2*(AB-AD)=(DC^2-AD^2)*AB-(BC^2-AB^2)*AD
AC^2=((DC^2-AD^2)*AB-(BC^2-AB^2)*AD)/ (AB-AD)=
=((2^2-4^2)*3-(3-3^2)*4)/ (3-4)=12
*********************
АВ=3, ВС=√3, CD=2, AD=4, AC = 2√3
***************
cos(a/2)=(BC^2-(AB^2+AC^2))/(-2AB*AC)=(3-(3^2+12))/(-2*3*2*корень(3) ) = корень(3)/2
а = 60 градусов
cos(в)=(АC^2-(AB^2+ВC^2))/(-2AB*ВC) = (12-(3^2+3))/(-2*3*корень(3)) = 0
в = 90 градусов
cos(д)=(АC^2-(АД^2+ДC^2))/(-2AД*ДC) = (12-(4^2+2^2))/(-2*4*2) = 0,5
d = 60 градусов
c=360 -60- 90 - 60 = 150 градусов
ВД = корень(АВ^2+АД^2-2*AB*АД*cos(a))=корень(3^2+4^2-2*3*4*cos(pi/3))= корень(13)