Треугольники ABC и A1B1C1 подобны. Найдите углы ∆ABC, если ∠А1 = 40°, ∠В : ∠С= 2:5.

Отметим точки касания сторон BA и AC как K и P. Соединим эти точки касания с центром окружности О. Рассмотрим два треугольника - AKO и APO: AK=AP (по теореме о двух касательных проведенных из одной точки), KO=PO (как радиусы одной окружности), AO у этих двух треугольников - общая, а значит что треугольники AKO и APO равны (по трем сторонам), из этого все соответствующие элементы этих треугольников равны, а значит что углы САО и ВАО - равны.

P.S. Со школы геометрию не решал, так что за правильность не ручаюсь 

1. Зная сумму углов треугольника, находим угол В:
<B=180-<C-<A=180-90-60=30°
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит
АС=АВ/2
По условию АС+АВ=26,4. Подставим сюда значение АС и запишем:
АВ/2+АВ=26,4
3АВ/2=26,4
3АВ=52,8
АВ=17,6 см

2. Зная внешний угол, находим внутренний угол А треугольника АВС:
<A=180-120=60°
<B=180-<C-<A=180-90-60=30°
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит
АС=АВ/2
По условию АС+АВ=18. Подставив сюда значение АС, запишем:
АВ/2+АВ=18
3АВ/2=18
3АВ=36
АВ=12 см
Как было указано выше, АС=АВ/2, значит АС=12/2=6 см

3. Поскольку треугольник равносторонний, все углы в нем по 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник DMC. Здесь DC=BC/2=12/2=6 см
cos C=CM/DC, отсюда
СМ=cos C*DC=cos 60 * 6=1/2 * 6 = 3 см
АМ=АС-СМ=12-3=9 см