За рис 38. Знайдіть периметр правильного вписаного трикутника АВС з центом у точці О

На данном отрезке-гипотенузе  нужно отметить середину. чтобы найти длину катета, равного её половине. Сделать это можно стандартным деления отрезка пополам ( см. ниже возведение перпендикуляра к данной точке - принцип нахождения середины отрезка тот же), 

На произвольной прямой отметим вершину будущего прямого угла - т.С.

Отметим с циркуля  по обе стороны от нее на равном расстоянии  точки 1 и 2 и циркулем с большим раствором из точек 1 и 2 как из центров проведем полуокружности одинакового радиуса до их пересечения по обе стороны от прямой. Прямая, соединяющая точки пересечения, перпендикулярна  к первой прямой. Отложим на перпендикуляре отрезок СВ, равный данному катету. 

Из т.В раствором циркуля, равным данной гипотенузе, на прямой отметим точку А- третью вершину нужного  треугольника. 

По построению катет ВС равен половине  гипотенузы АВ,  равной данному отрезку. 

. Синус угла ВАС равен ВС/АВ=1/2. Это синус 30°. 

Угол ВСА=90° по построению. 

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.  

Угол АВС=90°-30°=60°

1)а. Возьмем тр. АВС с основанием АС.угол В=62 => угол А=угол С => 58= сторона АС большая.( против бОльшего угла лежит бОльшая сторона)
б. Возьмем тр. АВС с основанием АС. угол В = 58 => угол А= угол С = 61=> стороны АВ и ВС большие ( в равнобедренном треугольнике 2 стороны равны)
2)а. рассмотрим тр. АВС, где угол А> угол В> угол С=> сторона ВС >сторона АС> сторона АВ
б. рассмотрим тр. АВС, где угол А = угол В< угол С => сторона АС = сторона ВС< сторона АВ
3)нет. против большего угла лежит большая сторона, а тупой угол всегда является самым большим в треугольнике.
4) задачу можно решить, только если точка N находится вне треугольника АОВ. рассмотрим треугольники АОN = ВОN (АN=ВN, угол ОАN=угол ОВN, ОN- общая)=> угол АОN = угол ВОN => точка N лежит на биссектрисе угла АОВ.