Которое из утверждений верно?

а)
Допустим AK < BK (точка K ближе к вершине A) . 
Обозначаем  сторону основания правильной пирамиды
AB=BC =CD =DA =a ;
Пусть выполняется S(ABCD) =S(KPM) ⇔
a² =KM*PO/2 ⇔a² =KM*(1,5a)/2⇒KM= 4a/3 .  AB= a< 4a/3 < a√2 =AC ,.т.е   KM не ⊥ AD  и  KM не совпадает  с  диагоналями основания .
б)
Через центр основания  O проведем  EF ⊥ AD (тоже самое EF ⊥ CD), где 
E ∈ [AD]  ,   F ∈ [BC] .  || K∈[AE] ||
ΔOEK = ΔOFM  по второму признаку равенства треугольников   (OE=OF=AB/2 ;∠OEK =∠OFM=90°  и  ∠KOE =∠MOF-вертикальные углы) .
MF=KE . 
---
Sпол(PABMK) = S(ABMK) +S₁бок .
S(ABMK) =(AK +BM)/2 *AB ; AK +BM =(a/2 -KE) +(a/2 +MF)=a.
 ⇒S(ABMK) =(AK +BM)/2 *AB=a/2 *a =a²/2.
S₁бок  =S(APK) +S(BPM)+S(APB) +S(KPM) =AK*h/2+BM*h/2+a*h/2+a²=
 =(AK+BM)*h/2 +.a*h/2 +a² =a*h/2+a*h/2+a²  =a*h+a² .
 Sпол(PABMK)=a²/2+a*h+a²=3a²/2+a*h = (3a+2a*h)/2, где  h_длина апофема .  
ΔEPF  h =EP=√((a/2)² +PO²) =√(a²/4 +9a²/4) =(a√10)/2 .
---
Sпол(PABCD) = S(ABMK) +S₂бок =a²+4*a*h/2 =a²+2*a*h  ;
 Sпол(PABMK)/ Sпол(PABCD) =(3a²+2a*h )/2  : (a²+2*a*h)  =
 =a²(3+√10)/2 : a² (1+√10) =(3+√10) / 2(1+√10).

а) Пусть искомый угол <HAP=α.

<BPA - внешний угол треугольника АРС.

<BPA = (1/2)*<A +<С (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним).

<BHA =90° - внешний угол треугольника НАР.

<BHA=α+<BPA. Или α+<BPA=90°. Или

α=90°-(1/2)*<A - <С.(1)

<A=180-<B-<C (сумма внутренних углов треугольника равна 180°).

Тогда из (1):

α=90°-(1/2)*(180-<B-<C) - <С. Или

α=90°-90°+<B/2 +<C/2-<C = <B/2-<C/2.

ответ: искомый угол равен α=|<B-<C|/2, что и требовалось доказать.

Второй вариант:

Пусть искомый угол <HAP=α.

<BPA - внешний угол треугольника АРС.

<BPA = (1/2)*<A +<С (1) (внешний угол треугольника равен сумме двух

внутренних, не смежных с ним).

<BHA =90° - внешний угол треугольника НАР.

<BРA=α+90°. Тогда из (1):

α=(1/2)*<A +<С - 90°. (2)

<A=180-<B-<C (сумма внутренних углов треугольника равна 180°).

Тогда из (2):

α=90°-(1/2)*<B-(1/2)*<C) - 90°+<С. Или

α=<С/2 - <В/2 = |<B-<C|/2.

P.S. Рассматривать все комбинации углов треугольника (в том числе и

тупоугольниго) нет необходимости, так как доказательство будет

подобным. Искомый угол равен модулю разности значений углов

В и С, так как отрицательное значение не удовлетворяет условию.

б). Искомый угол - угол СDE = α.

<CBE - внешний угол треугольника CDB.

<CBE=<DCB+α = >

(1/2)*(180 - <B) =(1/2)*<C + α . =>

α = 90° - (1/2)*<B -(1/2)*<C.

α = 90° - (1/2)*(<B+<C) . =>

2α = 180° - (<B+<C) . =>

2α = <A.

α = <A/2. Что и требовалось доказать.

в) CD и ВЕ - биссектрисы.

Искомый угол - угол α.

α = 180° - (1/2)*(В+С) (сумма внутренних углов треугольника

ВОС=180°). =>

2α =360° -(<B+<C) = 180°+180°-(<B+<C).

<A = 180°-(<B+<C).

2α = 180° + <A.

α = 90°+<A/2, что и требовалось доказать.