через т О перетину діагоналей паралелограма ABCD до його площини проведено перпендикуляр OM довжиною 4 см. Знайдіть відстань від т M до прямих, що містять сторони паралелограма, якщо AB=12см, BC=20см, кут BAD=30°​

Точка К, из которой будет виден отрезок МN под наибольшим углом, будет находиться на общей окружности с точками М и N. При этом OK для неё является касательной.
По свойству касательной и секущей ОК²=ОМ·ОN.
Пусть ОМ=х, тогда ОN=OM+MN=x+6,
4²=x(х+6),
х²+6х-4=0,
х1=-8, отрицательное значение не подходит,
х2=2.
ON=2+6=8 дм - это ответ.

Теперь докажем, что отрезок  MN виден из точки К под большим углом.
Пусть радиус окружности около тр-ка КMN равен r.
На стороне ОК в любом месте возьмём точку Р и опишем окружность около тр-ка РMN, радиусом R. ОР для неё является секущей, а для окружности, радиусом r - касательной, значит R>r.
Формула хорды: l=2R·sin(x/2), где х - градусная мера хорды.
∠MKN=α, ∠MPN=β.
Обратим внимание, что углы α и β - это половина градусной меры хорды.
MN=2R·sinβ ⇒ sinβ=MN/2R.
MN=2r·sinα ⇒ sinα=MN/2r.
Сравним синусы, предположив, что они равны.
MN/2R=MN/2r.
1/R=1/r, но R>r, значит 1/R<1/r, значит sinβ<sinα.
Так как градусная мера хорды не может быть больше 180°, значит в формуле хорды 0°<α<90°, 0°<β<90°.
В этом диапазоне синус угла тем больше, чем больше его градусная мера,
значит α>β.
Доказано.

Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Полезно запомнить формулы, выражающие сторону правильного n-угольника через радиус R описанной и через радиус r вписанной окружностей: а = 2R · sin(180°/n) и a = 2r · tg(180°/n), откуда

а₃ = R√3, а₄ = R√2 и а₃ = 2r√3, a₄ = 2r.

1) а = 6√3 - сторона правильного треугольника

   а) Р = 3а = 3 · 6√3 = 18√3;

   б) S = a²√3/4 = (6√3)² · √3/4 = 36 · 3 · √3 /4 = 27√3;

   в) R = а/√3 = 6√3/√3 = 6;

   г) r = а/(2√3) = 6√3/(2√3) = 3.

2) а = 5 - сторона квадрата

   а) Р = 4а = 4 · 5 = 20;

   б) S = a² = 5² = 25;

   в) R = а/√2 = 5/√2 = 5√2/2;

  г) r = а/2 = 5/2 = 2,5.