Точки M і N лежать по різні сторони від прямої а на відстані 2 см і 3 см від неї відповідно. Знайдіть відстань між проекціями цих точок на пряму а, якщо MN = 13 см.​

АВСД - трапеция , АВ=СД , ВС=7 см, АД= 25 см , 
ВД⊥АВ и  АС⊥СД .
 Проведём высоты  СК⊥АД , ВН⊥АД .
ΔАСД - прямоугольный, СК - высота, проведённая из прямого угла ⇒
по свойству :  СК²=АК*КД .
КД=АН=(АД-ВС):2=(25-7):2=9  ,  КН=ВС=7 ,  ДН=КН+КД=7+9=16 .
Аналогично находим АК=АН+НК=16
СК²=16*9=144 ,  СК=12 (см)
ΔВНД:  ВН║СК  (обозначим точку пересечения СК и ВД через Р) , тогда
  ВН║РК  ⇒  ΔВНД подобен ΔРКД  ⇒   РК:ВН=КД:ДН
РК:12=9:16  ⇒  РК=12*9:16=6,75
СР=СК-КР=12-6,75=5,25
СР:РК=5,25:6,75=7:9
ответ:  СР/РК=7/9

Ромб АВСD , по свойствам ромба:
Стороны равны
АВ=ВС=СD=DА = 6 см
Противолежащие углы равны
∠В = ∠D = x°    (острые углы)  
∠A=∠C = 5x°     (тупые углы)
Сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°, следовательно:
х + 5х = 180
6х = 180
х = 180 :6
х = 30°  ⇒ ∠В=∠D = 30°
∠A=∠C =  5*30 = 150°
Площадь ромба:
1) через сторону и угол : S=a²*sinα
S= 6²* sin30°=  36 * ¹/₂  = ³⁶/₂ = 18 (см²)
2) через  сторону и высоту : S=ah
S=ah
Проведем высоту АН (∠Н= 90°) ⇒Δ АНD - прямоугольный
AD=6 см  - гипотенуза
АН, НD  - катеты
∠D = 30°
Катет, лежащий против угла в 30°  равен половине гипотенузы
 АН = AD/2   ⇒ АН = 6/2 = 3  см
S =  6 * 3 = 18 (см²)

ответ: S = 18 см².