1. Точка Р, лежащая на оси Ох, имеет координаты (х; 0; 0).
Приравняем длины отрезков РА и РВ.
(1 – х)² + 3² + 2² = (-2 – х)² + 1² + 4²,
1 – 2х + х²+ 9 + 4 = 4 + 4х + х²+ 1 + 16,
6х = -7, х = -7/6.
ответ: точка Р((-7/6); 0; 0).
2. Вектор АВ = (3; 1; -2), вектор CD = ((x + 1); (y – 2); (z – 4)).
Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
(x+1)/3=(y-2)/1=(z-4)/(-2).
Отсюда видим, если переменные принять равными:
x = -1, y = 2, z = 4, то пропорции будут равны 0, то равными.
ответ: D(-1; 2; 4).
3. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Находим длины противоположных сторон.
Расстояние между точками: d = √((х2 - х1)² + (у2 - у1)² + (z2 – z1)²).
Подставив координаты точек, получаем:
Вектор АВ (-1; -3; -1), модуль равен √((-1)² + (-3)² + (-1)²) = √11.
Вектор CD (1; 3; 1), модуль равен √(1² + 3² + 1²) = √11.
Вектор ВC (-9; -1; 5), модуль равен √((-9)² + (-1)² + 5²) = √107.
Вектор АD (-9; -1; 5), модуль равен √(-9)² + (-1)² + 5²) = √107..
Равенство доказано: ABCD – параллелограмм.
4. Если у четырёхугольника все его стороны равны, то этот четырёхугольник есть ромб.
Точки А (2; 1; 2), В (4; -4; 0), С (0; -3; -4) - вершины ромба АВСD.
Вектор ВА равен СD.
Находим ВА = ((2-4); (1-(-4)); (2-0)) = (-2; 5; 2)
Отсюда находим координаты точки D.
х(D) = х(С) + (-2)= 0 - 2 = -2,
у(D) = уС) + 5 = -3 + 5 = 2.
z(D) = z(C) + 2 = -4 + 2 = -2
ответ: D(-2; 2; -2).
5. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.
Определяем неизвестную координату вектора b. По заданию |b| = 3.
2² + n² + 1² = 3².
n² = 9 – 1 – 4 = 4. Получаем 2 значения координаты у вектора b.
n = +-2.
Получаем 2 скалярных произведения векторов.
1) n = +2. 3*2 + (-1)*2 + m*1 = 0, m = 2 – 6 = -4.
2) n = -2. 3*2 + (-1)*(-2) + m*1 = 0, m = -2 – 6 = -8.
ответ: n1 = 2, m1 = -4,
n2 = -2, m2 = -8.
