Самостоятельная работа по теме «Простейшие задачи в координатах»
Вариант 17.
Дано: А(7 ; - 4), В(-2;-10), С(0 ;5). Найти: а) координаты вектора ВС; б) длину вектора АВ; в) координаты середины отрезка АС;г) периметр треугольника АВС;д) длину медианы ВМ.

Давайте решим вопросы по порядку.

а) Координаты вектора ВС.
Для нахождения координат вектора ВС нужно вычесть из координат точки С координаты точки В.
Запишем формулу:
ВС = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)
Где x₁, y₁ - координаты точки В, а x₂, y₂ - координаты точки С.
Подставим значения:
ВС = (0 - (-2), 5 - (-10))
ВС = (2, 15)

б) Длина вектора АВ.
Для нахождения длины вектора АВ нужно вычислить расстояние между точками А и В по формуле расстояния между двумя точками в координатной плоскости.
Запишем формулу:
AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Где x₁, y₁ - координаты точки А, а x₂, y₂ - координаты точки В.
Подставим значения:
AB = √((-2 - 7)² + (-10 - (-4))²)
AB = √((-9)² + (-6)²)
AB = √(81 + 36)
AB = √117
AB = 3√13 (округляем до двух знаков после запятой)

в) Координаты середины отрезка АС.
Для нахождения координат середины отрезка АС нужно вычислить среднее арифметическое значений координат точек А и С.
Запишем формулу:
x₄ = (x₁ + x₂)/2, y₄ = (y₁ + y₂)/2
Где x₁, y₁ - координаты точки А, а x₂, y₂ - координаты точки С.
Подставим значения:
x₄ = (7 + 0)/2, y₄ = (-4 + 5)/2
x₄ = 7/2, y₄ = 1/2
x₄ = 3.5, y₄ = 0.5
Ответ: середина отрезка АС имеет координаты (3.5 ; 0.5)

г) Периметр треугольника АВС.
Периметр треугольника можно найти, вычислив длины всех трех сторон и сложив их.
AB - длина вектора АВ, которая равна 3√13 (мы уже посчитали в пункте б).
BC - длина вектора ВС, которая равна √(2² + 15²)
BC = √(4 + 225)
BC = √229
CA - длина вектора АС, которая равна √((0 - 7)² + (5 - (-4))²)
CA = √((-7)² + (9)²)
CA = √(49 + 81)
CA = √130

Теперь сложим все стороны:
Периметр треугольника АВС = AB + BC + CA
Периметр треугольника АВС = 3√13 + √229 + √130

д) Длина медианы ВМ.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника со средней точкой противоположной стороны. В данном случае, нам нужно найти длину медианы, исходя из координат точек В и М. Для этого нужно вычислить расстояние между этими двумя точками.
Запишем формулу:
VM = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Где x₁, y₁ - координаты точки В, а x₂, y₂ - координаты точки М.
Нам известны координаты точки В (-2, -10), а координаты точки М можно найти, посчитав среднее арифметическое значений координат Ф и С:
x₂ = (x₁ + x₄)/2, y₂ = (y₁ + y₄)/2
Подставим значения:
x₂ = (-2 + 3.5)/2, y₂ = (-10 + 0.5)/2
x₂ = 1.5/2, y₂ = (-9.5)/2
x₂ = 0.75, y₂ = -4.75

Теперь подставим полученные значения в формулу:
VM = √((0.75 - (-2))² + (-4.75 - (-10))²)
VM = √((0.75 + 2)² + (-4.75 + 10)²)
VM = √((2.75)² + (5.25)²)
VM = √(7.5625 + 27.5625)
VM = √35.125
VM ≈ 5.92 (округляем до двух знаков после запятой)

Ответы:
а) Координаты вектора ВС: ВС = (2, 15)
б) Длина вектора АВ: AB ≈ 3√13
в) Координаты середины отрезка АС: (3.5, 0.5)
г) Периметр треугольника АВС: АВС = 3√13 + √229 + √130
д) Длина медианы ВМ: VM ≈ 5.92