Стороны правильного многоугольника равны.
Диаметр окружности, вписанной в квадрат со стороной m, равен длине его стороны.
d=m, r=d:2=m/2
Периметр квадрата=16 дм, => m=16:4=4 (дм) => r=4:2=2 (дм)
Длину стороны а правильного n-угольника, вписанного в окружность, находят по формуле
R=r=2 дм
n=5
180°:5=36°
sin36°= ≈0,5878
P=5a=10•2•0,5878= ≈11,7557 дм
Вариант решения:
Рассмотрим рисунок приложения.
АВ- сторона пятиугольника., О - центр описанной окружности.
ОН - высота, медиана и биссектриса равнобедренного ∆ АОВ
Центральный угол АОВ вписанного пятиугольника 360°:5=72°
Угол АOН= 72°:2=36°
АН=ОА•sinАОН=2•sin36°, AB=2AH=4•sin36°
AB=4•0,5878 =≈2,35 (дм)
Периметр правильного пятиугольника со стороной а равен 5а
Р=5•АВ=≈11,7557 (дм)
Решим эту задачу без применения частной формулы для правильного треугольника:Проведем в правильном треугольника АВС к каждой из сторон высоты: AF, BH, CE. Точка пересечения О.
Они будут и высотами и медианами и биссектрисами.
Рассмотри треугольник AFC: он прямоугольный. Угол FAC равен 30 (AF - биссектриса)⇒FC=½АС = ½5√3.
Находим катет AF: √((5√3)²-(½5√3)²) = √(75-75/4) = √(225/4) = 15/2
Исходя из равенства всех треугольников, полученных в результате построения высот треугольниа АВС, точкой пересечения высоты делятся в соотношении 2:1, т. е. АО=⅔AF⇒AO=⅔*(15/2)=5 см. Это и есть радиус.
Площадь S=πr²⇒S=25π
Длина окружности L=2πr⇒L=10π
Частная формула гласит R=(√3/3)*a⇒R=(√3/3)*5√3=15/3=5 (т. е. верно)
