Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а сторона основания равна 24 см. Вычисли двугранный угол при основании.
——————————————————
Основание правильной четырехугольной пирамиды – квадрат.
Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а высота проходит через центр основания, который является центром вписанной и описанной около основания окружностей.
Двугранный угол здесь образован радиусом вписанной окружности и апофемой, как отрезками. перпендикулярными ребру основания в одной точке (по т. о трех перпендикулярах).
Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны.
r=24:2=12 (см)
Соединив основание апофемы с центром основания ( основанием высоты пирамиды), получим прямоугольный треугольник.
При этом катеты- высота пирамиды и половина стороны основания - равны 12 см.
Следовательно, треугольник - равнобедренный. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45º.⇒ Искомый угол равен 45º.
1.
V = 96π см³
Sбок = 60π см²
2.
V = 54√2π см³
Sбок = 36π см²
Объяснение:
1.
r = 6 см, h = 8 см.
Из прямоугольного треугольника SOA по теореме Пифагора найдем образующую:
l = √(r² + h²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см
V = 1/3 πr²h, где
r - радиус основания,
h - высота.
V = 1/3 π · 6² · 8 = 1/3 π · 36 · 8 = 96π см³
Sбок = πrl, где
r - радиус основания,
l - образующая.
Sбок = π · 6 · 10 = 60π см²
2.
ОА = 6 см
ΔОАВ прямоугольный равнобедренный (∠ОАВ = 45°), значит
r = h
По теореме Пифагора:
r² + h² = OA²
2r² = 36
r² = 18
r = 3√2 см
h = r = 3√2 см
V = πr²h
V = π · 18 · 3√2 = 54√2π см³
Sбок = 2πrh
Sбок = 2 · π · 3√2 · 3√2 = 36π см²
